Из палочек длиной 1 см выложили контур прямоугольника так, что его периметр (в сантиметрах) оказался численно на пять меньше площади (в квадратных сантиметрах). Сколько палочек было использовано? Укажите все возможные варианты. Палочки нельзя ломать!

Пусть стороны прямоугольника равны a и b палочкам. Тогда периметр прямоугольника равен 2a + 2b, а площадь равна ab.

Условие задачи гласит, что периметр оказался численно на пять меньше площади, т.е. 2a + 2b = ab - 5.

Решим это уравнение относительно a: 2a = ab - 2b - 5. Выразим a: a = (ab - 2b - 5) / 2.

Также из условия задачи следует, что a и b должны быть целыми числами, поскольку мы не можем использовать часть палочки.

Теперь переберем все возможные значения a и b, чтобы найти все варианты:

1. a = 1, b = (b - 2 - 5) / 2 = (b - 7) / 2.
В этом случае b должно быть нечетным числом, чтобы (b - 7) / 2 было целым. Возможные значения b: 9, 11, 13, ...
При b = 9, a = 1, периметр = 2 * 1 + 2 * 9 = 20, площадь = 1 * 9 = 9, что не удовлетворяет условию задачи.
При b = 11, a = 1, периметр = 2 * 1 + 2 * 11 = 24, площадь = 1 * 11 = 11, что не удовлетворяет условию задачи.
При b = 13, a = 1, периметр = 2 * 1 + 2 * 13 = 28, площадь = 1 * 13 = 13, что не удовлетворяет условию задачи.
И так далее.

2. a = 2, b = (2b - 2 - 5) / 2 = (2b - 7) / 2.
В этом случае (2b - 7) должно быть нечетным числом, чтобы (2b - 7) / 2 было целым. Возможные значения (2b - 7): 9, 11, 13, ...
При (2b - 7) = 9, b = (9 + 7) / 2 = 8, a = 2, периметр = 2 * 2 + 2 * 8 = 20, площадь = 2 * 8 = 16, что не удовлетворяет условию задачи.
При (2b - 7) = 11, b = (11 + 7) / 2 = 9, a = 2, периметр = 2 * 2 + 2 * 9 = 22, площадь = 2 * 9 = 18, что не удовлетворяет условию задачи.
При (2b - 7) = 13, b = (13 + 7) / 2 = 10, a = 2, периметр = 2 * 2 + 2 * 10 = 24, площадь = 2 * 10 = 20, что удовлетворяет условию задачи.
И так далее.

3. a = 3, b = (3b - 2 - 5) / 2 = (3b - 7) / 2.
В этом случае (3b - 7) должно быть нечетным числом, чтобы (3b - 7) / 2 было целым. Возможные значения (3b - 7): 9, 11, 13, ...
При (3b - 7) = 9, b = (9 + 7) / 3 = 5, a = 3, периметр = 2 * 3 + 2 * 5 = 16, площадь = 3 * 5 = 15, что не удовлетворяет условию задачи.
При (3b - 7) = 11, b = (11 + 7) / 3 = 6, a = 3, периметр = 2 * 3 + 2 * 6 = 18, площадь = 3 * 6 = 18, что не удовлетворяет условию задачи.
При (3b - 7) = 13, b = (13 + 7) / 3 = 7, a = 3, периметр = 2 * 3 + 2 * 7 = 20, площадь = 3 * 7 = 21, что удовлетворяет условию задачи.
И так далее.

Продолжая перебирать значения a и b, мы можем найти все возможные варианты. В данном случае, возможны следующие варианты:

a = 2, b = 10 (периметр = 24, площадь = 20)
a = 3, b = 7 (периметр = 20, площадь = 21)

Таким образом, существуют два возможных варианта, когда можно использовать палочки: 2 и 10 палочек, или 3 и 7 палочек.