На доске написано три различных натуральных числа, причём большее из них равно 50. Оказалось, что произведение написанных чисел равно квадрату некоторого натурального числа. Какое максимальное значение могло иметь самое меньшее из выписанных чисел?

Пусть на доске написаны числа a, b и c, где a < b < c. Также известно, что c = 50.

Так как произведение написанных чисел равно квадрату некоторого натурального числа, то существует такое натуральное число k, что abc = k^2.

Так как a < b < c, то a < c. Поэтому, чтобы максимизировать значение a, нужно минимизировать значение b.

Предположим, что b = c - 1 (т.е. b равно на единицу меньше c). Тогда abc = a(c-1)c = ac^2 - ac.

Так как abc = k^2, то ac^2 - ac = k^2.

Факторизуем левую часть выражения: ac^2 - ac = ac(c-1) = k^2.

Так как a < c, то a и c взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1).

Также, так как ac(c-1) = k^2, то ac и (c-1) должны быть квадратами некоторых натуральных чисел.

Таким образом, мы можем представить ac = x^2 и c-1 = y^2, где x и y - натуральные числа.

Из уравнения c-1 = y^2 следует, что c = y^2 + 1.

Теперь мы можем заменить c в уравнении ac = x^2: a(y^2 + 1) = x^2.

Раскроем скобки: ay^2 + a = x^2.

Так как a и y^2 + 1 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), то a и y^2 должны быть квадратами некоторых натуральных чисел.

Таким образом, мы можем представить a = z^2 и y^2 = w^2, где z и w - натуральные числа.

Теперь мы можем заменить a и y^2 в уравнении ay^2 + a = x^2: z^2w^2 + z^2 = x^2.

Раскроем скобки: z^2(w^2 + 1) = x^2.

Таким образом, мы получили уравнение вида m^2 - n^2 = x^2, где m = z, n = zw.

Решая это уравнение, получим m = (p^2 + q^2)/2 и n = (p^2 - q^2)/2, где p и q - натуральные числа.

Таким образом, мы получили выражения для m и n в зависимости от p и q.

Возвращаясь к нашей задаче, мы хотим найти максимальное значение a, т.е. максимальное значение z.

Максимальное значение z будет достигаться, когда p и q будут максимальными.

Таким образом, максимальное значение самого маленького числа на доске будет равно z = (p^2 + q^2)/2.

Таким образом, чтобы найти максимальное значение самого маленького числа, нужно найти максимальные значения p и q, и подставить их в выражение (p^2 + q^2)/2.

Ответ: максимальное значение самого маленького числа на доске будет равно (p^2 + q^2)/2, где p и q - максимальные значения натуральных чисел.