В треугольнике ABC

известны величины углов: ∠A=52 ∠B=44 ∠C=84

 Окружность, проходящая через точки A

 и B

, повторно пересекает отрезки AC

 и BC в точках Pи Qсоответственно. Оказалось, что сумма AQ+BP

 принимает наименьшее возможное значение. Чему равен угол ∠BPQ? Ответ выразите в градусах.

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство пересекающихся хорд окружности.

Обозначим точку пересечения окружности и отрезка AC как X, а точку пересечения окружности и отрезка BC как Y.

Так как AX и BY - хорды, пересекающиеся внутри окружности, то по свойству пересекающихся хорд окружности, произведение длин отрезков AX и XC равно произведению длин отрезков BY и YC:

AX * XC = BY * YC

Также из условия задачи известно, что сумма AQ и BP должна принимать наименьшее возможное значение. Это значит, что точки Q и P должны быть наиболее близко к точкам A и B соответственно.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значение суммы AQ + BP, нужно выбрать точки Q и P так, чтобы отрезки AX и XC, BY и YC были равными.

Из свойства пересекающихся хорд окружности следует, что угол ∠BPQ равен половине разности углов ∠BAC и ∠ABC.

∠BAC = ∠BAX + ∠XAC = ∠BAX + ∠XCQ
∠ABC = ∠BAY + ∠YCB = ∠BAY + ∠YCP

Таким образом, угол ∠BPQ равен половине разности углов ∠BAX + ∠XCQ и ∠BAY + ∠YCP.

Угол ∠BAX равен ∠BAC, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и XC.

Угол ∠BAY равен ∠ABC, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и YC.

Таким образом, угол ∠BPQ равен половине разности углов ∠BAC и ∠ABC.

∠BAC = 52 градуса
∠ABC = 44 градуса

∠BPQ = (52 - 44)/2 = 4 градуса

Таким образом, угол ∠BPQ равен 4 градусам.