Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень p/qгде p/q - несократимая дробь, то р -делитель свободного коэффициента, а - делитель старшего коэффициента. Доказать эту теорему.

Для доказательства данной теоремы, рассмотрим целое рациональное уравнение вида:

ax^n + bx^(n-1) + ... + k = 0,

где a, b, ..., k - целые коэффициенты, n - натуральное число.

Предположим, что данное уравнение имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь.

Тогда, подставив p/q вместо x в уравнение, получим:

a(p/q)^n + b(p/q)^(n-1) + ... + k = 0.

Умножим обе части уравнения на q^n, чтобы избавиться от знаменателя:

ap^n + bp^(n-1)q + ... + kq^n = 0.

Заметим, что каждый член уравнения содержит p или q в качестве множителя.

Теперь рассмотрим свободный член kq^n. Поскольку p/q - несократимая дробь, то p и q взаимно просты.

Это означает, что q не может быть делителем p, поэтому kq^n не может быть делителем p.

Следовательно, p не может быть корнем kq^n и, следовательно, p не может быть корнем свободного коэффициента k.

Таким образом, рациональный корень p/q не может быть корнем свободного коэффициента k.

Аналогичным образом, рассмотрев старший коэффициент an, можно показать, что p не может быть корнем старшего коэффициента a.

Таким образом, мы доказали, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь, то р - делитель свободного коэффициента k, а - делитель старшего коэффициента a.