Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 865 б
23 октября 2023 13:53
169
Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень p/qгде p/q - несократимая дробь, то р -делитель свободного коэффициента, а - делитель старшего коэффициента. Доказать эту теорему.
1
ответ
Для доказательства данной теоремы, рассмотрим целое рациональное уравнение вида:
ax^n + bx^(n-1) + ... + k = 0,
где a, b, ..., k - целые коэффициенты, n - натуральное число.
Предположим, что данное уравнение имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь.
Тогда, подставив p/q вместо x в уравнение, получим:
a(p/q)^n + b(p/q)^(n-1) + ... + k = 0.
Умножим обе части уравнения на q^n, чтобы избавиться от знаменателя:
ap^n + bp^(n-1)q + ... + kq^n = 0.
Заметим, что каждый член уравнения содержит p или q в качестве множителя.
Теперь рассмотрим свободный член kq^n. Поскольку p/q - несократимая дробь, то p и q взаимно просты.
Это означает, что q не может быть делителем p, поэтому kq^n не может быть делителем p.
Следовательно, p не может быть корнем kq^n и, следовательно, p не может быть корнем свободного коэффициента k.
Таким образом, рациональный корень p/q не может быть корнем свободного коэффициента k.
Аналогичным образом, рассмотрев старший коэффициент an, можно показать, что p не может быть корнем старшего коэффициента a.
Таким образом, мы доказали, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь, то р - делитель свободного коэффициента k, а - делитель старшего коэффициента a.
ax^n + bx^(n-1) + ... + k = 0,
где a, b, ..., k - целые коэффициенты, n - натуральное число.
Предположим, что данное уравнение имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь.
Тогда, подставив p/q вместо x в уравнение, получим:
a(p/q)^n + b(p/q)^(n-1) + ... + k = 0.
Умножим обе части уравнения на q^n, чтобы избавиться от знаменателя:
ap^n + bp^(n-1)q + ... + kq^n = 0.
Заметим, что каждый член уравнения содержит p или q в качестве множителя.
Теперь рассмотрим свободный член kq^n. Поскольку p/q - несократимая дробь, то p и q взаимно просты.
Это означает, что q не может быть делителем p, поэтому kq^n не может быть делителем p.
Следовательно, p не может быть корнем kq^n и, следовательно, p не может быть корнем свободного коэффициента k.
Таким образом, рациональный корень p/q не может быть корнем свободного коэффициента k.
Аналогичным образом, рассмотрев старший коэффициент an, можно показать, что p не может быть корнем старшего коэффициента a.
Таким образом, мы доказали, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень p/q, где p/q - несократимая дробь, то р - делитель свободного коэффициента k, а - делитель старшего коэффициента a.
0
·
Хороший ответ
23 октября 2023 13:54
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Как перевести 10 кубических сантиметров в метры кубические?...
Книга стоит ?р,пенал-на 10р. дороже книги, а альбом на 5 р. дешевле пенала . Сколько стоит альбом? Дополни задачу и реши её....
Как перевести число 1 3 из другой системы счисления в десятичную?...
Начертите три треугольника с разными длинами сторон так, чтобы в одном треугольнике был прямой угол, в одном - тупой угол, а в третьем все углы были о...
Каково значение '10 нкл' в контексте техники?...