При каких значениях b имеет два различных действительных корня уравнение

x^2−4bx+3b+1=0

Уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант (D) больше нуля.

Дискриминант (D) равен b^2 - 4ac, где a = 1, b = -4b и c = 3b + 1.

Подставим значения в формулу дискриминанта и приравняем к нулю:

D = (-4b)^2 - 4(1)(3b + 1)
D = 16b^2 - 12b - 4

Теперь решим неравенство D > 0:

16b^2 - 12b - 4 > 0

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов или факторизацию. Применим метод интервалов:

1) Решим уравнение 16b^2 - 12b - 4 = 0:

16b^2 - 12b - 4 = 0
4(4b^2 - 3b - 1) = 0

Решим это квадратное уравнение:

(4b + 1)(4b - 4) = 0

Таким образом, получаем два значения b: b = -1/4 и b = 1.

2) Построим интервалы и проверим знаки внутри каждого интервала:

Интервал (-∞, -1/4):
Выберем b = -1, подставим в неравенство:
16(-1)^2 - 12(-1) - 4 > 0
16 + 12 - 4 > 0
24 > 0

Интервал (-1/4, 1):
Выберем b = 0, подставим в неравенство:
16(0)^2 - 12(0) - 4 > 0
0 - 0 - 4 > 0
-4 > 0 (неверно)

Интервал (1, +∞):
Выберем b = 2, подставим в неравенство:
16(2)^2 - 12(2) - 4 > 0
64 - 24 - 4 > 0
36 > 0

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня при b < -1/4 и b > 1.