Решите уравнения

1) sin x + 5 cos x = 0

2) 3 sin²x - 5 sin x cos x + 2 cos²x = 0

3) 2 sin 2x = 3 - 2 sin²x

4) √3 sin x - cos x = -2

1) Для решения данного уравнения воспользуемся формулой сложения для синуса и косинуса:
sin x + 5 cos x = 0
sin x + 5 cos x = √(1 - cos²x) + 5 cos x = 0
√(1 - cos²x) = -5 cos x
1 - cos²x = 25 cos²x
26 cos²x = 1
cos²x = 1/26
cos x = ±√(1/26)
x = arccos(±√(1/26))

2) Раскроем квадраты и приведем подобные члены:
3 sin²x - 5 sin x cos x + 2 cos²x = 0
3 sin²x - 5 sin x cos x + 2 (1 - sin²x) = 0
3 sin²x - 5 sin x cos x + 2 - 2 sin²x = 0
sin²x - 5 sin x cos x + 2 = 0
(sin x - 2)(sin x - 1) = 0
sin x = 2 или sin x = 1
Так как значения синуса ограничены от -1 до 1, то уравнение sin x = 2 не имеет решений.
Решение sin x = 1:
x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

3) Подставим значение sin 2x из формулы двойного аргумента:
2 sin 2x = 3 - 2 sin²x
2 (2 sin x cos x) = 3 - 2 (1 - cos²x)
4 sin x cos x = 3 - 2 + 2 cos²x
4 sin x cos x = 1 + 2 cos²x
4 sin x cos x - 2 cos²x = 1
2 cos x (2 sin x - cos x) = 1
cos x = 1/(2 sin x - cos x)
cos x = 1/(2 sin x - √(1 - sin²x))

4) Подставим значение cos x из формулы тангенса:
√3 sin x - cos x = -2
√3 sin x - √(1 - sin²x) = -2
√3 sin x + √(1 - sin²x) = 2
sin x = (2 - √(1 - sin²x))/√3
sin²x = (2 - √(1 - sin²x))²/3
sin²x = (4 - 4√(1 - sin²x) + 1 - sin²x)/3
3 sin²x = 5 - 4√(1 - sin²x)
9 sin⁴x - 24 sin²x + 16 = 0
Положим sin²x = t:
9t² - 24t + 16 = 0
Решим данное квадратное уравнение:
t = (24 ± √(24² - 4*9*16))/(2*9)
t = (24 ± √(576 - 576))/(18)
t = (24 ± 0)/18
t = 0
sin²x = 0
sin x = 0
x = 0 + πk, где k - целое число.