Последовательность задана формулой общего члена 𝑎𝑛 = 3/2𝑛 + 2/3𝑛. Найдите 𝑎3, 𝑎𝑛+3, 𝑎2𝑛, 𝑎(𝑛^2) , (𝑎𝑛)^2 .

Для данной последовательности с формулой общего члена 𝑎𝑛 = 3/2𝑛 + 2/3𝑛, найдем значения:

1) 𝑎3:
Для этого подставим 𝑛 = 3 в формулу общего члена:
𝑎3 = 3/2 * 3 + 2/3 * 3 = 9/2 + 2 = 13/2

2) 𝑎𝑛+3:
Подставим 𝑛 + 3 вместо 𝑛 в формулу общего члена:
𝑎𝑛+3 = 3/2(𝑛 + 3) + 2/3(𝑛 + 3) = 3/2𝑛 + 9/2 + 2/3𝑛 + 2 = 9/2𝑛 + 9/2 + 2/3 = 9/2𝑛 + 19/6

3) 𝑎2𝑛:
Подставим 2𝑛 вместо 𝑛 в формулу общего члена:
𝑎2𝑛 = 3/2(2𝑛) + 2/3(2𝑛) = 3𝑛 + 2/3 * 2𝑛 = 3𝑛 + 4/3𝑛 = 13/3𝑛

4) 𝑎(𝑛^2):
Подставим 𝑛^2 вместо 𝑛 в формулу общего члена:
𝑎(𝑛^2) = 3/2(𝑛^2) + 2/3(𝑛^2) = 3/2𝑛^2 + 2/3𝑛^2 = 13/6𝑛^2

5) (𝑎𝑛)^2:
Возведем 𝑎𝑛 в квадрат:
(𝑎𝑛)^2 = (3/2𝑛 + 2/3𝑛)^2 = (9/4𝑛^2 + 4/9𝑛^2 + 4/9𝑛^2) = 49/36𝑛^2

Таким образом, получаем:
𝑎3 = 13/2
𝑎𝑛+3 = 9/2𝑛 + 19/6
𝑎2𝑛 = 13/3𝑛
𝑎(𝑛^2) = 13/6𝑛^2
(𝑎𝑛)^2 = 49/36𝑛^2