Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым, десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \( a \), а знаменатель прогрессии как \( q \).

Тогда сумма первых пяти членов геометрической прогрессии будет равна:
\[ S_5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 62 \]

Также, известно, что пятый член геометрической прогрессии равен первому члену арифметической прогрессии, восьмой член равен второму, а одиннадцатый член равен десятому:
\[ aq^4 = a \]
\[ aq^7 = aq \]
\[ aq^{10} = aq^2 \]

Теперь мы можем найти значения \( a \) и \( q \), решив эту систему уравнений. Подставим выражение для \( a \) из первого уравнения в оставшиеся уравнения и решим систему.

\[ aq^4 = a \Rightarrow q^3 = 1 \Rightarrow q = 1 \]
\[ aq^7 = aq \Rightarrow q^6 = 1 \]
\[ aq^{10} = aq^2 \Rightarrow q^8 = 1 \]

Таким образом, \( q = 1 \). Подставим это в первое уравнение:
\[ a + a + a + a + a = 62 \]
\[ 5a = 62 \]
\[ a = 62 / 5 \]
\[ a = 12.4 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 12.4.