Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
Через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10 корней из 3 проведена окружность, пересекающая сторону AB в точке M, а продолжение стороны BC – в точке N. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке MN. Найти длину MN, если известно, что BC = 5, угол ABC = 60°.
1
ответ
Для начала обратим внимание на то, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на перпендикуляре, проведенном из середины гипотенузы треугольника ABC (где гипотенуза - сторона AB) к гипотенузе. Обозначим середину гипотенузы как O.
Так как площадь треугольника ABC равна 10 корням из 3, то известно, что \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = 10\sqrt{3} \).
Поскольку угол ABC равен 60°, то \(\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), и мы можем переписать уравнение как \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \), откуда получаем AB = 4.
Теперь, так как центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке MN, а также на перпендикуляре, проведенном из O, то MN является диаметром описанной окружности.
Так как BC = 5, то \(ON = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2}\).
Также, так как ABC - прямоугольный треугольник, то \(OM = \frac{AB}{2} = 2\).
Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольнику MON: \(MN^2 = ON^2 + OM^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2 = \frac{25}{4} + 4 = \frac{41}{4}\).
Следовательно, \(MN = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}\).
Так как площадь треугольника ABC равна 10 корням из 3, то известно, что \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = 10\sqrt{3} \).
Поскольку угол ABC равен 60°, то \(\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), и мы можем переписать уравнение как \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \), откуда получаем AB = 4.
Теперь, так как центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке MN, а также на перпендикуляре, проведенном из O, то MN является диаметром описанной окружности.
Так как BC = 5, то \(ON = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2}\).
Также, так как ABC - прямоугольный треугольник, то \(OM = \frac{AB}{2} = 2\).
Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольнику MON: \(MN^2 = ON^2 + OM^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2 = \frac{25}{4} + 4 = \frac{41}{4}\).
Следовательно, \(MN = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}\).
0
·
Хороший ответ
3 мая 2024 17:33
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
Найдите сторону,периметр,площадь и радиус вписанной окружности правильного четырехугольника,если радиус описанной окружности равен 2дм...
Сколько ребер у прямоугольника...
Острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, равен 41. Одна из дуг, заключенных между секущими, равна 138....
На рисунке отрезок MP параллелен стороне CE, луч MK является биссектрисой угла BMP. Найдите величину угла KMP Помогите!!!?!?!,...
1. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760. 2. В правильной четы...