В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и В, пересекающиеся в точке О. Биссектриса BО пересекает сторону AD в точке F, а прямую CD - в точке N.

Найдите площадь треугольника ACN, если AO = 4, BO = 5, а отношение сторон параллелограмма АВ : BC = 2 : 3.

Для начала найдем длины сторон параллелограмма ABCD. Пусть сторона AB равна 2x, а сторона BC равна 3x. Тогда сторона AD равна 2x, а сторона DC равна 3x.

Так как AO и BO являются биссектрисами углов параллелограмма, то мы можем использовать теорему синусов в треугольнике AOB:

AO / sin(∠ABO) = BO / sin(∠BAO)

4 / sin(∠ABO) = 5 / sin(∠BAO)

sin(∠ABO) = 4/5 * sin(∠BAO)

Так как углы ABO и BAO равны, то sin(∠ABO) = sin(∠BAO), и мы можем найти их общее значение:

sin(∠ABO) = sin(∠BAO) = 4/5 * sin(∠ABO)

sin(∠ABO) = 4/5 * sin(∠ABO)

5sin(∠ABO) = 4sin(∠ABO)

sin(∠ABO) = 0.8

Теперь мы можем найти площадь треугольника ACN, используя формулу для площади треугольника через синус угла между сторонами:

S(ACN) = 0.5 * AC * CN * sin(∠ACN)

Так как треугольник ACN прямоугольный (угол ACN равен 90 градусам), то sin(∠ACN) = 1. Также, угол ACO равен углу BCO, так как AO и BO являются биссектрисами, поэтому sin(∠ACN) = sin(∠ABO) = 0.8.

Теперь нам нужно найти длины сторон AC и CN. Треугольник AOC является прямоугольным, так как угол AOC равен 90 градусам. Мы можем использовать теорему Пифагора:

AC^2 = AO^2 + OC^2

AC^2 = 4^2 + (2x)^2

AC = √(16 + 4x^2)

Теперь найдем длину CN. Треугольник CNO также является прямоугольным, так как угол CNO равен 90 градусам. Мы можем использовать теорему Пифагора:

CN^2 = CO^2 + NO^2

CN^2 = OC^2 + (3x)^2

CN = √(4x^2 + 9x^2) = √(13x^2)

Теперь мы можем выразить площадь треугольника ACN через x:

S(ACN) = 0.5 * √(16 + 4x^2) * √(13x^2) * 0.8

S(ACN) = 0.4 * √(16 + 4x^2) * √(13x^2)

S(ACN) = 0.4 * √(16*13) * x

S(ACN) = 0.4 * 4√13 * x

S(ACN) = 1.6√13 * x

Теперь нам нужно найти значение x. Для этого воспользуемся отношением сторон параллелограмма AB:BC = 2:3:

2x / 3x = 2 / 3

x = 3

Теперь мы можем найти площадь треугольника ACN:

S(ACN) = 1.6√13 * 3 = 4.8√13

Ответ: площадь треугольника ACN равна 4.8√13.