Для уравнения \(x^2 + (p+4)x + q = 0\) дискриминант равен \((p+4)^2 - 4q\). Поскольку это уравнение не имеет решений, дискриминант должен быть отрицательным: \((p+4)^2 - 4q < 0\).

Для уравнения \(x^2 + qx - (p+4) = 0\) дискриминант равен \(q^2 + 4(p+4)\). Поскольку это уравнение имеет два различных корня, дискриминант должен быть положительным: \(q^2 + 4(p+4) > 0\).

Также известно, что \(p < q\).

Нам нужно найти наименьшее целое значение выражения \(p+q\). Рассмотрим возможные целые значения \(p\) и \(q\) удовлетворяющие условиям выше. Попробуем минимальные значения:

- Пусть \(p = -4\), тогда \(q = -3\). Условия \(p < q\), \((p+4)^2 - 4q < 0\) и \(q^2 + 4(p+4) > 0\) выполняются.
- Тогда \(p + q = -4 - 3 = -7\).

Таким образом, наименьшее целое значение выражения \(p+q\) при условиях \(p < q\), \((p+4)^2 - 4q < 0\) и \(q^2 + 4(p+4) > 0\) равно -7.