Дано:

ABCDA1B1C1D1 - куб.

K, M, N - середины ребер B1C1, D1D, D1C1 соответственно,

P - точка пересечения диагоналей грани AA1B1B.

Определите взаимное расположение:

1. прямых: В1М и ВD, PM и B1N, AC и MN, B1M и PN;

2. прямой и плоскости: KN и (ABCD), B1D и (DD1C1C), PM и (BB1D1D),

MN и (AA1B1B);

3. плоскостей: (AA1B1B) и (DD1C1C), (AB1C1D) и (BB1D1D), (AA1D1D) и

(BB1C1C)

1. Прямые:
- Прямые B1М и BD пересекаются в точке M, так как B1M - это диагональ грани AB1D1, которая проходит через точку M, а BD - это ребро куба.
- Прямые PM и B1N пересекаются в точке P, так как PM - это диагональ грани B1D1D, которая проходит через точку P, а B1N - это ребро куба.
- Прямые AC и MN пересекаются, так как AC - это диагональ грани ABCD, а MN - это диагональ грани BCD1A1, и они пересекаются в точке N.
- Прямые B1M и PN не пересекаются, так как B1M лежит в плоскости AB1D1, а PN лежит в плоскости B1D1D.

2. Прямые и плоскости:
- Прямая KN параллельна плоскости ABCD, так как KN - это серединный перпендикуляр к ребру CD1, и он параллелен плоскости ABCD.
- Прямая B1D пересекает плоскость DD1C1C в точке D, так как B1D - это диагональ куба, а плоскость DD1C1C содержит эту диагональ.
- Прямая PM пересекает плоскость BB1D1D в точке D1, так как PM - это диагональ куба, а плоскость BB1D1D содержит эту диагональ.
- Прямая MN пересекает плоскость AA1B1B в точке A1, так как MN - это диагональ куба, а плоскость AA1B1B содержит эту диагональ.

3. Плоскости:
- Плоскости AA1B1B и DD1C1C пересекаются по прямой AD, так как они содержат диагонали куба, которые пересекаются в точке A.
- Плоскости AB1C1D и BB1D1D пересекаются по прямой BD, так как они содержат диагонали куба, которые пересекаются в точке D.
- Плоскости AA1D1D и BB1C1C пересекаются по прямой AD1, так как они содержат диагонали куба, которые пересекаются в точке D1.