Подскажите как сравнивать корни?

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1690

Как сравнивать корни?
1. Самая простая ситуация, когда один корень оказался числом отрицательным, а другой - положительным. Такое возможно, когда один из корней нечётной степени, и под корнем стоит отрицательное число, а другой корень любой степени, но под ним стоит неотрицательное число.
Примеры
Сравнить $\sqrt[3]{-5}$ и $\sqrt$ .
$\sqrt[3]{-5} = - \sqrt[3] \ \textless \ 0; \sqrt \ \textgreater \ 0$
Отрицательное число всегда меньше положительного
$\sqrt[3]{-5} \ \textless \sqrt$
Пример извлекаемых корней
$\sqrt[4] =2\ \textgreater \ \sqrt[3]{-27} =-3$
2. Для остальных случаев правило простое. Нужно возвести оба корня в такую одинаковую степень, чтобы избавиться от обоих корней. Необходимо только обязательно помнить о том, что корень чётной степени всегда неотрицательный, а корень нечётной степени может иметь любой знак в зависимости от знака выражения под корнем.
Примеры:
Сравнить $\sqrt[4]$ и $\sqrt[4]$
$\Big( \sqrt[4]\Big)^4=8 \ \textless \ 18=\Big( \sqrt[4] \Big)^4~~~\Rightarrow~~~\sqrt[4] \textless \sqrt[4]$
-----------------------
Сравнить $\sqrt[5]{-3}$ и $\sqrt[5]{-7}$
$\Big( \sqrt[5]{-3}\Big)^5 =-3\ \textgreater \ -7=\Big( \sqrt[5]{-7} \Big)^5~~~~\Rightarrow~~~~\sqrt[5]{-3} \textgreater \sqrt[5]{-7}$
-----------------------
Сравнить $\sqrt[3]$ и $\sqrt[7]$
Наименьшее общее кратное чисел 3 и 7 равно 21, поэтому возводить корни следует в степень 21
$\Big(\sqrt[3]\Big)^=\Big(\Big( \sqrt[3] \Big)^3\Big)^7=2^7=128 \\ \\ \Big( \sqrt[7] \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[7] \Big)^7\Big)^3=2^3=8$
128 > 8 ⇒ $\sqrt[3]\ \textgreater \ \sqrt[7]$
-----------------------
Сравнить $\sqrt[3]{-2}$ и $\sqrt[7]{-2}$
$\Big(\sqrt[3]{-2}\Big)^=\Big(\Big( \sqrt[3]{-2} \Big)^3\Big)^7=\Big(-2\Big)^7=-128 \\ \\ \Big( \sqrt[7]{-2} \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[7]{-2} \Big)^7\Big)^3=(-2)^3=-8$
-128 < -8 ⇒ $\sqrt[3]{-2}\ \textless \ \sqrt[7]{-2}$
-------------------------
Сравнить $\sqrt[15]$ и $\sqrt[20]$
Наименьшее общее кратное чисел 15 и 20 равно 60, поэтому возводить оба корня следует в 60 степень
$\Big( \sqrt[15] \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[15] \Big)^\Big)^4=2^4=16 \\ \\ \Big( \sqrt[20] \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[20] \Big)^\Big)^3=3^3=27$
16 < 27 ⇒ $\sqrt[15] \ \textless \ \sqrt[20]$
--------------------------
Сравнить $\sqrt{ \frac }$ и $\sqrt[3]{ \frac }$
Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, поэтому корни нужно возводить в степень 6.
$(\sqrt{ \frac}\Big)^6=\Big(\Big( \sqrt{ \frac } \Big)^2\Big)^3=\Big( \frac \Big)^3= \dfrac \\ \\ \Big(\sqrt[3]{ \frac } \Big)^6=\Big(\Big( \sqrt[3]{\frac } \Big)^3\Big)^2=\Big( \frac \Big)^2= \dfrac$
$\dfrac \ \textless \ \dfrac$ ⇒ $\sqrt{ \dfrac }\ \textless \ \sqrt[3]{ \dfrac }$
-------------------------
Сравнить $\sqrt[3]{-0,1}$ и $\sqrt[5]{-0,01}$
$\Big( \sqrt[3]{-0,1} \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[3]{-0,1} \Big)^3\Big)^5=(-0,1)^5=-0,00001 \\ \\ \Big(\sqrt[5]{-0,01} \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[5]{-0,01} \Big)^5\Big)^3=(-0,01)^3=-0,000001$
-0,00001 < -0,000001 ⇒ $\sqrt[3]{-0,1} \ \textless \ \sqrt[5]{-0,01}$

Хороший ответ

2 декабря 2022 03:41

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Алгебра

Решите уравнение sin3x+cos3x=0. Найдите корни из отрезка [-Pi/2 ; Pi ]... Найдите вероятность того что случайно выбранное трехзначное число делится на 25... Помогите решить уравнение. sin(pi/4-4x)cos(pi/4-x)+sin^2(5x/2)=0... Решите уравнение 5-2х=11-7(х+2)... Сколько будет 40 в квадрате...