Лучшие помощники
30 ноября 2022 03:41
865

Подскажите как сравнивать корни?

1 ответ
Посмотреть ответы
Как сравнивать корни?
1. Самая простая ситуация, когда один корень оказался числом отрицательным, а другой - положительным. Такое возможно, когда один из корней нечётной степени, и под корнем стоит отрицательное число, а другой корень любой степени, но под ним стоит неотрицательное число.
Примеры
Сравнить  \sqrt[3]{-5} и  \sqrt .
 \sqrt[3]{-5} = - \sqrt[3] \ \textless \ 0; \sqrt \ \textgreater \ 0
Отрицательное число всегда меньше положительного
 \sqrt[3]{-5} \ \textless \sqrt
Пример извлекаемых корней
 \sqrt[4] =2\ \textgreater \ \sqrt[3]{-27} =-3
2. Для остальных случаев правило простое. Нужно возвести оба корня в такую одинаковую степень, чтобы избавиться от обоих корней. Необходимо только обязательно помнить о том, что корень чётной степени всегда неотрицательный, а корень нечётной степени может иметь любой знак в зависимости от знака выражения под корнем.
Примеры:
Сравнить  \sqrt[4] и  \sqrt[4]
\Big( \sqrt[4]\Big)^4=8 \ \textless \ 18=\Big( \sqrt[4] \Big)^4~~~\Rightarrow~~~\sqrt[4] \textless \sqrt[4]
-----------------------
Сравнить  \sqrt[5]{-3} и  \sqrt[5]{-7}
\Big( \sqrt[5]{-3}\Big)^5 =-3\ \textgreater \ -7=\Big( \sqrt[5]{-7} \Big)^5~~~~\Rightarrow~~~~\sqrt[5]{-3} \textgreater \sqrt[5]{-7}
-----------------------
Сравнить  \sqrt[3] и  \sqrt[7]
Наименьшее общее кратное чисел 3 и 7 равно 21, поэтому возводить корни следует в степень 21
 \Big(\sqrt[3]\Big)^=\Big(\Big( \sqrt[3] \Big)^3\Big)^7=2^7=128 \\ \\ \Big( \sqrt[7] \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[7] \Big)^7\Big)^3=2^3=8
128 > 8 ⇒ \sqrt[3]\ \textgreater \ \sqrt[7]
-----------------------
Сравнить  \sqrt[3]{-2} и  \sqrt[7]{-2}
\Big(\sqrt[3]{-2}\Big)^=\Big(\Big( \sqrt[3]{-2} \Big)^3\Big)^7=\Big(-2\Big)^7=-128 \\ \\ \Big( \sqrt[7]{-2} \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[7]{-2} \Big)^7\Big)^3=(-2)^3=-8
-128 < -8 ⇒ \sqrt[3]{-2}\ \textless \ \sqrt[7]{-2}
-------------------------
Сравнить  \sqrt[15] и  \sqrt[20]
Наименьшее общее кратное чисел 15 и 20 равно 60, поэтому возводить оба корня следует в 60 степень
\Big( \sqrt[15] \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[15] \Big)^\Big)^4=2^4=16 \\ \\ \Big( \sqrt[20] \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[20] \Big)^\Big)^3=3^3=27
16 < 27 ⇒  \sqrt[15] \ \textless \ \sqrt[20]
--------------------------
Сравнить  \sqrt{ \frac } и  \sqrt[3]{ \frac }
Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, поэтому корни нужно возводить в степень 6.
(\sqrt{ \frac}\Big)^6=\Big(\Big( \sqrt{ \frac } \Big)^2\Big)^3=\Big( \frac \Big)^3= \dfrac \\ \\ \Big(\sqrt[3]{ \frac } \Big)^6=\Big(\Big( \sqrt[3]{\frac } \Big)^3\Big)^2=\Big( \frac \Big)^2= \dfrac
 \dfrac \ \textless \ \dfrac  \sqrt{ \dfrac }\ \textless \ \sqrt[3]{ \dfrac }
-------------------------
Сравнить  \sqrt[3]{-0,1} и  \sqrt[5]{-0,01}
\Big( \sqrt[3]{-0,1} \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[3]{-0,1} \Big)^3\Big)^5=(-0,1)^5=-0,00001 \\ \\ \Big(\sqrt[5]{-0,01} \Big)^=\Big(\Big( \sqrt[5]{-0,01} \Big)^5\Big)^3=(-0,01)^3=-0,000001
-0,00001 < -0,000001 ⇒  \sqrt[3]{-0,1} \ \textless \ \sqrt[5]{-0,01}
0
·
Хороший ответ
2 декабря 2022 03:41
Остались вопросы?
Найти нужный