8sin^2x+2√3cosx+1=0

8sin²x + 2√3cosx + 1 = 0
8 (1-cos²x) + 2√3cosx + 1 = 0
8 - 8 cos²x + 2√3cosx + 1 = 0
8cos²x - 2√3cosx - 9 = 0
Пусть cosx = t, причем |t|≤1, тогда получаем
8t² - 2√3t - 9 = 0
Находим дискриминант
D=b²-4ac=(-2√3)² + 4 * 8 * 9 = 300
√D = 10√3
D>0, значит уравнение имеет 2 корня
t1 = (-b-√D)/2a = (2√3 - 10√3)/16 = -√3/2
t2 = (-b+√D)/2a = (2√3 + 10√3)/16 = 3√3/4 - не удовлетворяет условию при |t|≤1

Возвращаемся к замене

cosx = -√3/2
x = ±arccos(-√3/2) + 2πn,n ∈ Z
x = ±5π/6 + 2πn,n ∈ Z