В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2180

Так как команда А уже выиграла у трех соперников из пяти, то она является либо сильнейшей, либо второй по силе, либо третьей по силе среди всех команд. Найдем, сколько способов упорядочивания команд по силе соответствуют этим трем ситуациям.
Первая ситуация. Пусть команда А - сильнейшая. Пусть команды выписаны в порядке убывания силы. Тогда, получается запись вида:
$\mathrm$ , где $\mathrm$ - некоторая команда
5 других команд на свободные позиции можно расставить $N_1=5!=120$ способами.
Вторая ситуация. Пусть команда А - вторая по силе. Составим запись команд в порядке убывания силы:
$\mathrm$
Отметим, что теперь 5 других команд располагаются на свободных местах не произвольным образом, а с учетом ограничения: три проигравшие команды должны располагаться правее команды А.
Определим количество способов расставить команды указанным образом. Слева от команды А может располагаться одна из двух еще не проигравших ей команд. Оставшиеся 4 команды можно как-либо разместить справа от команды А. Таким образом, всего имеется $N_2=2\cdot4!=48$ способов разместить команды с учетом ограничения.
Третья ситуация. Пусть команда А - третья по силе. Составим запись команд в порядке убывания силы:
$\mathrm$
Аналогично, имеется ограничение: три проигравшие команды должны располагаться правее команды А.
Значит, слева от команды А каким-либо образом располагаются две еще не проигравшие ей команды, а справа каким-либо образом - три проигравшие команды. Всего имеется $N_3=2!\cdot3!=12$ способов разместить команды с учетом ограничения.
Итак, всего имеется $N=120+48+12=180$ способов упорядочивания шести команд по силе, если известно, что некоторые 3 из них слабее команды А.
Рассмотрим, что происходит в каждой из этих ситуаций, когда команда А начинает играть четвертый раунд.
Первая ситуация. Если команда А - сильнейшая, то она выиграет у любого соперника. То есть вероятность выигрыша в этой ситуации $p_1=1$ .
Вторая ситуация. Пусть команда А - вторая по силе. К четвертому раунду, кроме команды А, в игре осталось еще две команды, из которых по предположению только одна сильнее команды А. Так как выбор соперника происходит случайным образом, то с вероятностью $\dfrac$ команда А будет играть с более слабым соперником и выиграет, и также с вероятностью $\dfrac$ команда А будет играть с более сильным соперником и проиграет. Вероятность выигрыша в этой ситуации $p_2=\dfrac$ .
Третья ситуация. Пусть команда А - третья по силе. Две команды, оставшиеся кроме команды А к четвертому раунду, сильнее нее. Значит, команда А гарантированно проиграет. Вероятность выигрыша в этой ситуации $p_3=0$ .
Вероятность того, что команда А победит в четвертом раунде равна сумме попарных произведений вероятности того, что каждая из трех ситуаций наступит, и вероятности победы при условии наступления этой ситуации:
$p=\dfrac \cdot p_1+\dfrac \cdot p_2+\dfrac \cdot p_3$
$p=\dfrac \cdot 1+\dfrac \cdot \dfrac +\dfrac \cdot0=\dfrac \cdot 1+\dfrac \cdot \dfrac +0=\dfrac =0.8$
Ответ: 0.8

Хороший ответ

8 декабря 2022 18:49

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Алгебра

Упростите выражение ( 1/n^2-n +1/n^2+n)/ n+3/n^2-1... Упростите выражение (5a-4) ^2-(2a-1) (2a+1)... Какой угол в градусах описывает минутная стрелка за 23 минуты... Что это: парабола, гипербола или прямая? y=2x(в квадрате)+x... Оля купила три подарка и упаковала их в три прямоугольные коробки: синюю, красную и зелёную. Она попробовала поставить эти подарки разными способами:...