Вывести производную косинуса и тангенса.

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Покажем, что (cos x)'=-sin x

По определению $y'=lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}$

Приращение функции равно
$\Delta y=cos (x+\Delta x)-cos x=-2sin(x+\frac{\Delta x})sin (\frac {\Delta x})$
Ищем отношение
$\frac {\Delta y}{\Delta x}=-sin(x+\frac{\Delta x})\frac )}{\Delta \frac}$
Перейдем в этом равенстве к границе, когда $\Delta x->0$ . В следствии непрерывности функции sin x
$lim_{\Delta x->0} -sin(x+\frac{\Delta x})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x})=-sin x$

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив $\Delta \frac =\Delta \alpha$ , имеем
$lim_{\Delta x->0} \frac )}{\Delta \frac}= lim_{\alpha->0} \frac {\alpha}=1$
Поєтому
$lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x})\frac )}{\Delta \frac})=-sin x *1=-sin x$
Т.е. (сos x)'=-sinx

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение
$\Delta y=\frac -\frac = =\frac= \frac$
Получаем отношение
$\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac {\Delta x}}$
переходим к границе, когда $\Delta x->0$ .
$lim_{\Delta x->0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {\Delta x}}=\frac$
Следовательно производная функции y=tg x существует и равна
$(tg x)'=\frac$

Хороший ответ

16 декабря 2022 14:19

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Алгебра

Как избавиться от модуля?... Приставка «нано» в переводе с греческого означает «карлик». Вам знакомо это слово? Где вы с ним встречались?... (корень третьей степени) 3^√54*4... Внутри прямоугольника со сторонами 2 см и 5 см закрасили прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см. Какая часть площади прямоугольника со стороной 2 см и... Определите вероятность того что при бросании кубика выпало число очков делящееся на три...