Лучшие помощники
14 декабря 2022 17:10
1008

Найти частные производные: первого и второго порядков u=(x-y)(x-z)(y-z)

1 ответ
Посмотреть ответы
Ответ:
Частные производные первого порядка:
\displaystyle  \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^
\displaystyle  \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^
\displaystyle  \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz
Частные производные второго порядка:
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) =  2y - 2z
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2z - 2x
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2x - 2y
Все частные смешанные производные второго порядка равны нулю
Примечание:
Для того, чтобы найти полный дифференциал нужно сначала его записать формальном в общем виде. И затем найти частные производные. При нахождении частных производных счиатем, что диффеернцируется только, та часть по которой находится производная, а остальные части функции принимаем за константы.
По таблице производных:
\boxed{(x^)' = nx^}
Правила дифференцирования:
(f_ \pm f_ \pm \ldots + f_)' = f'_ \pm f'_ \pm \ldots + f'_
Пошаговое объяснение:
u = (x - y)(x - z)(y - z) = (y - z)(x^ - xz - yx + yz) =
= yx^ - xyz - y^x + y^z - zx^ + xz^ + xyz - yz^ =
= yx^ - y^x + y^z - zx^ + xz^ - yz^ = x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^
Частные производные первого порядка:
\displaystyle  \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^
\displaystyle  \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^
\displaystyle  \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz
Частные производные второго порядка:
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) =  \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=
= 2y - 2z
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) =  \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (x^ + 2yz - 2yx - z^ \bigg) =
= 2z - 2x
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg (  x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) =
= 2x - 2y
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial y} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^  \bigg) =   \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=
= 2y - 2y =0
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^  \bigg) =   \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=
= -2z + 2z = 0
\displaystyle  \frac{ \partial^ u}{\partial y \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^  \bigg) =   \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) =
= 2z - 2z =0
0
·
Хороший ответ
16 декабря 2022 17:10
Остались вопросы?
Найти нужный