Лучшие помощники
- Megamozg 2170 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 775 б
- Dwayne_Johnson 755 б
14 декабря 2022 17:10
952
Найти частные производные: первого и второго порядков u=(x-y)(x-z)(y-z)
1
ответ
Ответ:
Частные производные первого порядка:
![\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^ \displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%202xy%20-%202xz%20-y%5E%7B2%7D%20%2B%20z%5E%7B2%7D)
![\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^ \displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20x%5E%7B2%7D%20%2B%202yz%20-%202yx%20-%20z%5E%7B2%7D)
![\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz \displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20y%5E%7B2%7D%20-x%5E%7B2%7D%20%2B%202xz%20-%202yz)
Частные производные второго порядка:
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2y - 2z \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2y - 2z](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E%7B2%7D%7D%20%5Cbigg%20%28%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20%202y%20-%202z)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2z - 2x \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2z - 2x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E%7B2%7D%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%202z%20-%202x)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2x - 2y \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2x - 2y](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%5E%7B2%7D%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%202x%20-%202y)
Все частные смешанные производные второго порядка равны нулю
Примечание:
Для того, чтобы найти полный дифференциал нужно сначала его записать формальном в общем виде. И затем найти частные производные. При нахождении частных производных счиатем, что диффеернцируется только, та часть по которой находится производная, а остальные части функции принимаем за константы.
По таблице производных:
![\boxed{(x^)' = nx^} \boxed{(x^)' = nx^}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%28x%5E%7Bn%7D%29%27%20%3D%20nx%5E%7Bn%20-%201%7D%7D)
Правила дифференцирования:
![(f_ \pm f_ \pm \ldots + f_)' = f'_ \pm f'_ \pm \ldots + f'_ (f_ \pm f_ \pm \ldots + f_)' = f'_ \pm f'_ \pm \ldots + f'_](https://tex.z-dn.net/?f=%28f_%7B1%7D%20%5Cpm%20f_%7B2%7D%20%5Cpm%20%5Cldots%20%2B%20f_%7Bn%7D%29%27%20%3D%20f%27_%7B1%7D%20%5Cpm%20f%27_%7B2%7D%20%5Cpm%20%5Cldots%20%2B%20f%27_%7Bn%7D)
Пошаговое объяснение:
![u = (x - y)(x - z)(y - z) = (y - z)(x^ - xz - yx + yz) = u = (x - y)(x - z)(y - z) = (y - z)(x^ - xz - yx + yz) =](https://tex.z-dn.net/?f=u%20%3D%20%28x%20-%20y%29%28x%20-%20z%29%28y%20-%20z%29%20%3D%20%28y%20-%20z%29%28x%5E%7B2%7D%20-%20xz%20-%20yx%20%2B%20yz%29%20%3D)
![= yx^ - xyz - y^x + y^z - zx^ + xz^ + xyz - yz^ = = yx^ - xyz - y^x + y^z - zx^ + xz^ + xyz - yz^ =](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%20yx%5E%7B2%7D%20-%20xyz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20zx%5E%7B2%7D%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20%2B%20xyz%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%3D)
![= yx^ - y^x + y^z - zx^ + xz^ - yz^ = x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ = yx^ - y^x + y^z - zx^ + xz^ - yz^ = x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%20yx%5E%7B2%7D%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20zx%5E%7B2%7D%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%3D%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D)
Частные производные первого порядка:
![\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^ \displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%202xy%20-%202xz%20-y%5E%7B2%7D%20%2B%20z%5E%7B2%7D)
![\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^ \displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20x%5E%7B2%7D%20%2B%202yz%20-%202yx%20-%20z%5E%7B2%7D)
![\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz \displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20y%5E%7B2%7D%20-x%5E%7B2%7D%20%2B%202xz%20-%202yz)
Частные производные второго порядка:
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)= \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E%7B2%7D%7D%20%5Cbigg%20%28%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cbigg%20%28%202xy%20-%202xz%20-y%5E%7B2%7D%20%2B%20z%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%3D)
![= 2y - 2z = 2y - 2z](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%202y%20-%202z)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (x^ + 2yz - 2yx - z^ \bigg) = \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (x^ + 2yz - 2yx - z^ \bigg) =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E%7B2%7D%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cbigg%20%28x%5E%7B2%7D%20%2B%202yz%20-%202yx%20-%20z%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D)
![= 2z - 2x = 2z - 2x](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%202z%20-%202x)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) = \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%5E%7B2%7D%7D%20%5Cbigg%20%28%20%20x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28%20y%5E%7B2%7D%20-x%5E%7B2%7D%20%2B%202xz%20-%202yz%20%5Cbigg%29%20%3D)
![= 2x - 2y = 2x - 2y](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%202x%20-%202y)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial y} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)= \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial y} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%20%5Cpartial%20y%7D%20%5Cbigg%20%28x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%20%5Cbigg%29%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cbigg%20%28%202xy%20-%202xz%20-y%5E%7B2%7D%20%2B%20z%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%3D)
![= 2y - 2y =0 = 2y - 2y =0](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%202y%20-%202y%20%3D0)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)= \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%20%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%20%5Cbigg%29%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28%202xy%20-%202xz%20-y%5E%7B2%7D%20%2B%20z%5E%7B2%7D%20%5Cbigg%29%3D)
![= -2z + 2z = 0 = -2z + 2z = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%20-2z%20%2B%202z%20%3D%200)
![\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) = \displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%5E%7B2%7D%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%20%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28x%5E%7B2%7D%20y%20-%20x%5E%7B2%7D%20z%20%2B%20y%5E%7B2%7Dz%20-%20y%5E%7B2%7Dx%20%2B%20xz%5E%7B2%7D%20-%20yz%5E%7B2%7D%20%20%5Cbigg%29%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5Cbigg%20%28%20y%5E%7B2%7D%20-x%5E%7B2%7D%20%2B%202xz%20-%202yz%20%5Cbigg%29%20%3D)
![= 2z - 2z =0 = 2z - 2z =0](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%202z%20-%202z%20%3D0)
Частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка:
Все частные смешанные производные второго порядка равны нулю
Примечание:
Для того, чтобы найти полный дифференциал нужно сначала его записать формальном в общем виде. И затем найти частные производные. При нахождении частных производных счиатем, что диффеернцируется только, та часть по которой находится производная, а остальные части функции принимаем за константы.
По таблице производных:
Правила дифференцирования:
Пошаговое объяснение:
Частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка:
0
·
Хороший ответ
16 декабря 2022 17:10
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Какой результат даст умножение 1 на 2 в степени 0?...
Какой результат вычисления 10 в минус второй степени?...
Найди площадь и периметр прямоугольника со сторонами 10 см и 7 см. - 3 Класс, математика....
Какой ответ должен быть на вопрос, связанный с заданием '1 cosa'?...
Каковы топ-10 стран по добыче угля?...