Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Ответ:
Изменить порядок интегрирования $\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt}^{{-3+\sqrt}}f(x,y)\, dy$ .
Область проецируется на ось ОХ в отрезок [-2 ; 6 ] .
Если начертить луч, параллельный оси ОУ, то точка входа в область лежит на кривой, уравнение которой имеет вид
$y=-3-\sqrt$ . Точка выхода из области лежит на кривой, уравнение которой имеет вид
$y=-3+\sqrt$ . Это нижняя и верхняя полуокружности от
окружности $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ . Действительно,
$y=-3+\sqrt\ \ \Rightarrow \ \ \ y+3=\sqrt\ \ ,\\\\(y+3)^2=12+4x-x^2\ \ ,\ \ (y+3)^2=-(x^2-4x-12)\ \ ,\\\\(y+3)^2=-\Big(\, (x-2)^2-4-12\Big)\ \ ,\ \ \ (y+3)^2=-(x-2)^2+16\ \ \Rightarrow \\\\(x-2)^2+(y+3)^2=4^2$
Это окружность с центром в точке (2;-3) и радиуса R=4 .
Выразим из уравнения окружности переменную х .
$(x-2)^2=16-(y+3)^2\ \ ,\ \ \ (x-2)^2=16-y^2-6y-9\ \ ,\\\\(x-2)^2=-y^2-6y+7\ \ ,\ \ x-2=\pm \sqrt\ \ ,\\\\x=2\pm \sqrt$
Последнее равенство - это правая (если знак +) и левая (если знак минус ) полуокружности от окружности $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ .
Окружность проецируется на ось ОУ в отрезок [-7; 1 ] .
$\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt}^{{-3+\sqrt}}f(x,y)\, dy=\int\limits_{-7}^1\, dy\int\limits_}^}f(x,y)\, dx$

Хороший ответ

17 декабря 2022 02:05

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Что дано в задании '1 81 cosx 9 2sin2x'?... 2cos^3x-2cosx+sin^2x=0... Какое вещество обозначается формулой C6H5BrNa?... Какую дистанцию в километрах можно пройти за 1 час, двигаясь со скоростью 100 метров в минуту?... Найдите произведение 1) 5× 3/26 2) 5/8×4 3)9/28×56 4)6 6/7×3/8 5)5 1/7×1 8/27 6)1 8/9×1 1/8×2 2/3...

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле ​

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле