Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Ответ:
Изменить порядок интегрирования $\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt}^{{-3+\sqrt}}f(x,y)\, dy$ .
Область проецируется на ось ОХ в отрезок [-2 ; 6 ] .
Если начертить луч, параллельный оси ОУ, то точка входа в область лежит на кривой, уравнение которой имеет вид
$y=-3-\sqrt$ . Точка выхода из области лежит на кривой, уравнение которой имеет вид
$y=-3+\sqrt$ . Это нижняя и верхняя полуокружности от
окружности $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ . Действительно,
$y=-3+\sqrt\ \ \Rightarrow \ \ \ y+3=\sqrt\ \ ,\\\\(y+3)^2=12+4x-x^2\ \ ,\ \ (y+3)^2=-(x^2-4x-12)\ \ ,\\\\(y+3)^2=-\Big(\, (x-2)^2-4-12\Big)\ \ ,\ \ \ (y+3)^2=-(x-2)^2+16\ \ \Rightarrow \\\\(x-2)^2+(y+3)^2=4^2$
Это окружность с центром в точке (2;-3) и радиуса R=4 .
Выразим из уравнения окружности переменную х .
$(x-2)^2=16-(y+3)^2\ \ ,\ \ \ (x-2)^2=16-y^2-6y-9\ \ ,\\\\(x-2)^2=-y^2-6y+7\ \ ,\ \ x-2=\pm \sqrt\ \ ,\\\\x=2\pm \sqrt$
Последнее равенство - это правая (если знак +) и левая (если знак минус ) полуокружности от окружности $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ .
Окружность проецируется на ось ОУ в отрезок [-7; 1 ] .
$\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt}^{{-3+\sqrt}}f(x,y)\, dy=\int\limits_{-7}^1\, dy\int\limits_}^}f(x,y)\, dx$

Хороший ответ

17 декабря 2022 02:05

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Какое самое большое число до 26 делится без остатка на 3?на 4?на 5?на 6?на 7?на 8?на 9?на 10?... Какое задание было дано?... Подчеркнуть и решить только те выражения , в которых деление выполняется с остатком. 99:33=__ 39:14=__ 40:13=__ 84:7=__ 87:20=__ 73:16=__ 78:19=__ 62:... Вычислить: cos 2x, Sin 2x, tg 2x, ctg2x, если соs x=3/14 Должно быть 7 пунктов!... Какой результат получится, если разделить 8 на 0?...

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле ​

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле