Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Решение.
$\displaystyle \int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_{-\frac{\sqrt2}\sqrt}^{\frac{\sqrt2}\sqrt}\, dy$
Область, по которой ведётся интегрирование - это эллипс с центром в точке (0,0) , большой полуосью a=2 и малой полуосью b=√2 . Действительно,
$y=\dfrac{\sqrt2}\cdot \sqrt\ \ \Rightarrow \ \ \ y^2=\dfrac\ \ ,\ \ 2y^2=4-x^2\ \ ,\ \ x^2+2y^2=4\ \Big|:4\ \Rightarrow$
$\dfrac+\dfrac=1$ - эллипс , центр (0,0) , а=2 , b=√2 .
Выразим переменную х .
$\dfrac=1-\dfrac\ \ ,\ \ x^2=4\cdot \dfrac\ \ ,\ \ x^2=2(2-y^2)\ \ ,\ \ x^2=4-2y^2\ ,\\\\x=\pm \sqrt$
Получили уравнения правой и левой половинок эллипса .
Поменяем порядок интегрирования .
$\displaystyle \int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_{-\frac{\sqrt2}\sqrt}^{\frac{\sqrt2}\sqrt}\, dy=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, dy\int\limits_{-\sqrt}^{\sqrt}\, dx=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, (\sqrt+\sqrt)\, dy=$

$\displaystyle =2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=2\sqrt2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=\\\\\\\bullet \int \sqrt\, dy=\Big[\ y=\sqrt2\, sint\ ,\ sint=\frac{\sqrt2}\ ,\ t=arcsin\frac{\sqrt2}\ ,\\\\\\dy=\sqrt2\, cost\, dt\ \Big]=\int \sqrt\cdot \sqrt2\, cost\, dt=2\cdot \int \sqrt\cdot cost\, dt=\\\\\\=2\int \sqrt\cdot cost\, dt=2\int cost\cdot cost\, dt=2\int cos^2t\, dt=2\int \frac\, dt=$

$\displaystyle =\int dt+\int cost\, dt=t+sint+C=arcsin\frac{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}+C\ \ \bullet$

$\displaystyle =2\sqrt2\cdot \Big(arcsin\frac{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}\Big)\Big|_{-\sqrt2}^{\sqrt2}=\\\\\\=2\sqrt2\cdot \Big(arcsin\frac{\sqrt2}{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{\sqrt2}-arcsin\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}-\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}\Big)=\\\\\\=2\sqrt2\cdot \Big(arcsin1+1+arcsin1+1\Big)=2\sqrt2\cdot (2arcsin1+2)=\\\\\\=2\sqrt2\cdot (2\cdot \frac{\pi }+2)=2\sqrt2\cdot (\pi +2)$

Хороший ответ

17 декабря 2022 19:19

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Решить рациональные уравнения. Найти ОДЗ. Желательно расписать)... Что требуется сделать по заданию '1 найдите значение выражения при'?... 2.28. Найти работу сил электрического поля по переносу пробного заряда 1 мкКл из точки, находящейся на некотором расстоянии r1 от бесконечно длинной р... Начертите треугольник,который имеет: 1) три оси симметрии:2)одну ось симметрии... Сколько будет в точности 50:9.... Я знаю что выходит 5 и ....сколько незнаю... Калькулятор показывает5,555555 Что это значит?...