Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Решение.
$\displaystyle \int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_{-\frac{\sqrt2}\sqrt}^{\frac{\sqrt2}\sqrt}\, dy$
Область, по которой ведётся интегрирование - это эллипс с центром в точке (0,0) , большой полуосью a=2 и малой полуосью b=√2 . Действительно,
$y=\dfrac{\sqrt2}\cdot \sqrt\ \ \Rightarrow \ \ \ y^2=\dfrac\ \ ,\ \ 2y^2=4-x^2\ \ ,\ \ x^2+2y^2=4\ \Big|:4\ \Rightarrow$
$\dfrac+\dfrac=1$ - эллипс , центр (0,0) , а=2 , b=√2 .
Выразим переменную х .
$\dfrac=1-\dfrac\ \ ,\ \ x^2=4\cdot \dfrac\ \ ,\ \ x^2=2(2-y^2)\ \ ,\ \ x^2=4-2y^2\ ,\\\\x=\pm \sqrt$
Получили уравнения правой и левой половинок эллипса .
Поменяем порядок интегрирования .
$\displaystyle \int\limits_{-2}^2\, dx\int\limits_{-\frac{\sqrt2}\sqrt}^{\frac{\sqrt2}\sqrt}\, dy=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, dy\int\limits_{-\sqrt}^{\sqrt}\, dx=\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, (\sqrt+\sqrt)\, dy=$

$\displaystyle =2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=2\sqrt2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=\\\\\\\bullet \int \sqrt\, dy=\Big[\ y=\sqrt2\, sint\ ,\ sint=\frac{\sqrt2}\ ,\ t=arcsin\frac{\sqrt2}\ ,\\\\\\dy=\sqrt2\, cost\, dt\ \Big]=\int \sqrt\cdot \sqrt2\, cost\, dt=2\cdot \int \sqrt\cdot cost\, dt=\\\\\\=2\int \sqrt\cdot cost\, dt=2\int cost\cdot cost\, dt=2\int cos^2t\, dt=2\int \frac\, dt=$

$\displaystyle =\int dt+\int cost\, dt=t+sint+C=arcsin\frac{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}+C\ \ \bullet$

$\displaystyle =2\sqrt2\cdot \Big(arcsin\frac{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}\Big)\Big|_{-\sqrt2}^{\sqrt2}=\\\\\\=2\sqrt2\cdot \Big(arcsin\frac{\sqrt2}{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{\sqrt2}-arcsin\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}-\frac{-\sqrt2}{\sqrt2}\Big)=\\\\\\=2\sqrt2\cdot \Big(arcsin1+1+arcsin1+1\Big)=2\sqrt2\cdot (2arcsin1+2)=\\\\\\=2\sqrt2\cdot (2\cdot \frac{\pi }+2)=2\sqrt2\cdot (\pi +2)$

Хороший ответ

17 декабря 2022 19:19

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Задание некорректно... Помогите меня тут задача из куска ситца можно сшить 32 детских платья или 16 платьев для взрослых на каждое детское платье идёт 2 метра ситца сколько... Чему равняется 1/8?... На каждом рисунке по 11 кружков. Раскрась каждый рисунок красным и синим карандашами так, чтобы красных кружков стало меньше, чем синих: на рисунке 1-... Какое количество пудов равно 100 единицам массы?...