Лучшие помощники
15 декабря 2022 19:37
907

Вывести производную косинуса и тангенса.

1 ответ
Посмотреть ответы
Покажем, что (cos x)'=-sin x

По определению y'=lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}

Приращение функции равно
\Delta y=cos (x+\Delta x)-cos x=-2sin(x+\frac{\Delta x})sin (\frac {\Delta x})
Ищем отношение
\frac {\Delta y}{\Delta x}=-sin(x+\frac{\Delta x})\frac )}{\Delta \frac}
Перейдем в этом равенстве к границе, когда \Delta x->0. В следствии непрерывности функции sin x
lim_{\Delta x->0} -sin(x+\frac{\Delta x})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x})=-sin x

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив \Delta \frac  =\Delta \alpha, имеем
lim_{\Delta x->0} \frac )}{\Delta \frac}= lim_{\alpha->0} \frac {\alpha}=1
Поєтому
lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x})\frac )}{\Delta \frac})=-sin x *1=-sin x
Т.е. (сos x)'=-sinx

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение
\Delta y=\frac -\frac = =\frac= \frac
Получаем отношение
\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac {\Delta x}}
переходим к границе, когда \Delta x->0.
lim_{\Delta x->0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {\Delta x}}=\frac
Следовательно производная функции y=tg x существует и равна
(tg x)'=\frac
0
·
Хороший ответ
17 декабря 2022 19:37
Остались вопросы?
Найти нужный