Найти частные производные: первого и второго порядков u=(x-y)(x-z)(y-z)

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Ответ:
Частные производные первого порядка:
$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^$
$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^$
$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz$
Частные производные второго порядка:
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2y - 2z$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2z - 2x$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2x - 2y$
Все частные смешанные производные второго порядка равны нулю
Примечание:
Для того, чтобы найти полный дифференциал нужно сначала его записать формальном в общем виде. И затем найти частные производные. При нахождении частных производных счиатем, что диффеернцируется только, та часть по которой находится производная, а остальные части функции принимаем за константы.
По таблице производных:
$\boxed{(x^)' = nx^}$
Правила дифференцирования:
$(f_ \pm f_ \pm \ldots + f_)' = f'_ \pm f'_ \pm \ldots + f'_$
Пошаговое объяснение:
$u = (x - y)(x - z)(y - z) = (y - z)(x^ - xz - yx + yz) =$
$= yx^ - xyz - y^x + y^z - zx^ + xz^ + xyz - yz^ =$
$= yx^ - y^x + y^z - zx^ + xz^ - yz^ = x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^$
Частные производные первого порядка:
$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = 2xy - 2xz -y^ + z^$
$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = x^ + 2yz - 2yx - z^$
$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = y^ -x^ + 2xz - 2yz$
Частные производные второго порядка:
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=$
$= 2y - 2z$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg (x^ + 2yz - 2yx - z^ \bigg) =$
$= 2z - 2x$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial z^} \bigg ( x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) =$
$= 2x - 2y$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial y} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=$
$= 2y - 2y =0$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial x \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( 2xy - 2xz -y^ + z^ \bigg)=$
$= -2z + 2z = 0$
$\displaystyle \frac{ \partial^ u}{\partial y \partial z} \bigg (x^ y - x^ z + y^z - y^x + xz^ - yz^ \bigg) = \frac{ \partial u}{\partial z} \bigg ( y^ -x^ + 2xz - 2yz \bigg) =$
$= 2z - 2z =0$

Хороший ответ

17 декабря 2022 21:15

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Какую сумму дают слагаемые в данном задании: '1 слагаемое 2 2 слагаемое 6'?... Какие слова с приставкой на имеют отношение к работе?... Сколько соли нужно добавить?... Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии:12; 24;... 192 подчернутое... Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке....