2 В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 10, а боковое ребро 3 корня квадратных из 10. Найдите расстояние между стороной основания и диагональю призмы, не пересекающейся с ней.

В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 10, а боковое ребро 3√10. Найдите расстояние между стороной основания и диагональю призмы, не пересекающейся с ней.
––––––––––––––––––––––––––––
Призма называется правильной, если она прямая (т.е. её боковые ребра перпендикулярны основаниям и её основания – правильные многоугольники. Так как призма четырехугольная, её
основания – квадраты.
На рисунке, данном в приложении, сторона основания и диагональ призмы, не пересекающаяся с ней – прямые АД и А1С соответственно. Они скрещивающиеся.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.
Через диагональ призмы А1С и сторону ВС проведем плоскость ВСД1А1. Плоскость содержит ВС║ АД, значит, она параллельна АД ( по т. о параллельности прямой и плоскости).
Длина перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из любой точки на прямой АД – есть искомое расстояние.
Отметим на АД точку М.
Проведем отрезок МК║ДД1 и отрезок МН║ДС. Они взаимно перпендикулярны, т.к. лежат в перпендикулярных плоскостях и перпендикулярны линии их пересечения. . Соединив К и Н, получим прямоугольный треугольник КМН, в котором гипотенуза КН лежит в плоскости ВА1Д1Д, содержащей диагональ призмы. Расстоянием между прямой и плоскостью является длина перпендикуляра между ними. =>
Высота МО треугольника КМН, перпендикулярная плоскости – МО искомое расстояние между АД и плоскостью, содержащей диагональ призмы
КН=СД1, МН=ДС, КМ=ДД1
МН=√Ѕ(ABCD)=√10
По т.Пифагора КН=√(КМ²+МН²)=√[(3√10)²+(√10)²]=10
MO=2S∆(KMH):KH=3√10•√10:10=3 (ед. длины)
—————
Тот же результат получим, если из прямого угла Д грани ДСС1Д1 опустим перпендикуляр на СД1 или из А – на ВА1, т.к., если прямая параллельна плоскости, то все точки этой прямой равноудалены от той плоскости.