Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2200

Ответ:
Изменить порядок интегрирования $\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt}^{{-3+\sqrt}}f(x,y)\, dy$ .
Область проецируется на ось ОХ в отрезок [-2 ; 6 ] .
Если начертить луч, параллельный оси ОУ, то точка входа в область лежит на кривой, уравнение которой имеет вид
$y=-3-\sqrt$ . Точка выхода из области лежит на кривой, уравнение которой имеет вид
$y=-3+\sqrt$ . Это нижняя и верхняя полуокружности от
окружности $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ . Действительно,
$y=-3+\sqrt\ \ \Rightarrow \ \ \ y+3=\sqrt\ \ ,\\\\(y+3)^2=12+4x-x^2\ \ ,\ \ (y+3)^2=-(x^2-4x-12)\ \ ,\\\\(y+3)^2=-\Big(\, (x-2)^2-4-12\Big)\ \ ,\ \ \ (y+3)^2=-(x-2)^2+16\ \ \Rightarrow \\\\(x-2)^2+(y+3)^2=4^2$
Это окружность с центром в точке (2;-3) и радиуса R=4 .
Выразим из уравнения окружности переменную х .
$(x-2)^2=16-(y+3)^2\ \ ,\ \ \ (x-2)^2=16-y^2-6y-9\ \ ,\\\\(x-2)^2=-y^2-6y+7\ \ ,\ \ x-2=\pm \sqrt\ \ ,\\\\x=2\pm \sqrt$
Последнее равенство - это правая (если знак +) и левая (если знак минус ) полуокружности от окружности $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ .
Окружность проецируется на ось ОУ в отрезок [-7; 1 ] .
$\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt}^{{-3+\sqrt}}f(x,y)\, dy=\int\limits_{-7}^1\, dy\int\limits_}^}f(x,y)\, dx$

Хороший ответ

18 декабря 2022 10:53

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Как записать значение 3000 ньютонов в килоньютонах?... 10 часов - это сколько минут?... Какое число равно 1 в минус 3 степени?... Сколько копеек в 10 рублях?... Сколько квадратных метров в одном квадратном километре?...

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле ​

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле