Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 865 б
16 декабря 2022 15:19
281
Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл

1
ответ
Решение.

Область, по которой ведётся интегрирование - это эллипс с центром в точке (0,0) , большой полуосью a=2 и малой полуосью b=√2 . Действительно,

- эллипс , центр (0,0) , а=2 , b=√2 .
Выразим переменную х .
Получили уравнения правой и левой половинок эллипса .
Поменяем порядок интегрирования .

![\displaystyle =2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=2\sqrt2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=\\\\\\\bullet \int \sqrt\, dy=\Big[\ y=\sqrt2\, sint\ ,\ sint=\frac{\sqrt2}\ ,\ t=arcsin\frac{\sqrt2}\ ,\\\\\\dy=\sqrt2\, cost\, dt\ \Big]=\int \sqrt\cdot \sqrt2\, cost\, dt=2\cdot \int \sqrt\cdot cost\, dt=\\\\\\=2\int \sqrt\cdot cost\, dt=2\int cost\cdot cost\, dt=2\int cos^2t\, dt=2\int \frac\, dt= \displaystyle =2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=2\sqrt2\int\limits_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\, \sqrt\, dy=\\\\\\\bullet \int \sqrt\, dy=\Big[\ y=\sqrt2\, sint\ ,\ sint=\frac{\sqrt2}\ ,\ t=arcsin\frac{\sqrt2}\ ,\\\\\\dy=\sqrt2\, cost\, dt\ \Big]=\int \sqrt\cdot \sqrt2\, cost\, dt=2\cdot \int \sqrt\cdot cost\, dt=\\\\\\=2\int \sqrt\cdot cost\, dt=2\int cost\cdot cost\, dt=2\int cos^2t\, dt=2\int \frac\, dt=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%3D2%5Cint%5Climits_%7B-%5Csqrt2%7D%5E%7B%5Csqrt2%7D%5C%2C%20%5Csqrt%7B4-2y%5E2%7D%5C%2C%20dy%3D2%5Csqrt2%5Cint%5Climits_%7B-%5Csqrt2%7D%5E%7B%5Csqrt2%7D%5C%2C%20%5Csqrt%7B2-y%5E2%7D%5C%2C%20dy%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cbullet%20%5Cint%20%5Csqrt%7B2-y%5E2%7D%5C%2C%20dy%3D%5CBig%5B%5C%20y%3D%5Csqrt2%5C%2C%20sint%5C%20%2C%5C%20sint%3D%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt2%7D%5C%20%2C%5C%20t%3Darcsin%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt2%7D%5C%20%2C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cdy%3D%5Csqrt2%5C%2C%20cost%5C%2C%20dt%5C%20%5CBig%5D%3D%5Cint%20%5Csqrt%7B2-2sin%5E2t%7D%5Ccdot%20%5Csqrt2%5C%2C%20cost%5C%2C%20dt%3D2%5Ccdot%20%5Cint%20%5Csqrt%7B1-sin%5E2t%7D%5Ccdot%20cost%5C%2C%20dt%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cint%20%5Csqrt%7Bcos%5E2t%7D%5Ccdot%20cost%5C%2C%20dt%3D2%5Cint%20cost%5Ccdot%20cost%5C%2C%20dt%3D2%5Cint%20cos%5E2t%5C%2C%20dt%3D2%5Cint%20%5Cfrac%7B1%2Bcost%7D%7B2%7D%5C%2C%20dt%3D)

Область, по которой ведётся интегрирование - это эллипс с центром в точке (0,0) , большой полуосью a=2 и малой полуосью b=√2 . Действительно,
Выразим переменную х .
Получили уравнения правой и левой половинок эллипса .
Поменяем порядок интегрирования .

0
·
Хороший ответ
18 декабря 2022 15:20
Остались вопросы?