Значение арифметического выражения: 32^540 + 16^231 - 2^10 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Для решения этой задачи нужно посчитать значение выражения 32^540 + 16^231 - 2^10 в десятичной системе счисления, а затем записать это число в двоичной системе и посчитать количество цифр «1» в этой записи.

Для упрощения вычислений воспользуемся следующими свойствами степеней:

a^n * a^m = a^(n+m)

(a^n)^m = a^(n*m)

32 = 2^5, 16 = 2^4, 2^10 = 1024

32^540 + 16^231 - 2^10 = (2^5)^540 + (2^4)^231 - 1024 = 2^(5*540) + 2^(4*231) - 2^10 = 2^2700 + 2^924 - 1024

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

2^2700 = (2^10)^270 * 2^200 = 1024^270 * 2^200

2^924 = (2^10)^92 * 2^4 = 1024^92 * 16

Теперь можно вычислить исходное выражение:

2^2700 + 2^924 - 1024 = 1024^270 * 2^200 + 1024^92 * 16 - 1024 = 1024(1024^269 * 2^8 + 1024^91 * 16 - 1)

Значение выражения в скобках можно записать в двоичной системе счисления:

1024^269 * 2^8 + 1024^91 * 16 - 1 = 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Количество цифр «1» в этой записи равно количеству единиц в двоичной записи числа 1024, умноженному на 270 и прибавленному к количеству единиц в двоичной записи числа 16, умноженному на 91.

Двоичная запись числа 1024: 10000000000

Двоичная запись числа 16: 10000

Количество цифр «1» в двоичной записи числа 1024 равно 1.

Количество цифр «1» в двоичной записи числа 16 равно 1.

Таким образом, количество цифр «1» в двоичной записи исходного выражения равно:

1 * 270 + 1 * 91 = 361

Ответ: 361.