Функция F(n) задана следующими строками:
F(n) = 1, если n = 1;

F(n) = n · F(n – 1) + 1, если n > 1.

Чему равно значение выражения F(2123) / F(2120)? В ответе укажите только целую часть числа.

Вычислим значение функции F(2123):

F(2123) = 2123 · F(2122) + 1

Вычислим значение функции F(2122):

F(2122) = 2122 · F(2121) + 1

Вычислим значение функции F(2121):

F(2121) = 2121 · F(2120) + 1

Подставляем значение F(2121) в формулу для F(2122):

F(2122) = 2122 · (2121 · F(2120) + 1) + 1

Выражаем F(2123) через F(2122):

F(2123) = 2123 · (2122 · (2121 · F(2120) + 1) + 1) + 1

Упрощаем выражение:

F(2123) = 2123 · 2122 · 2121 · F(2120) + 2123 · 2122 + 2123 + 1

Вычисляем значение функции F(2120):

F(2120) = 2120 · F(2119) + 1

Вычисляем значение функции F(2119):

F(2119) = 2119 · F(2118) + 1

Продолжаем подставлять значения функции F(n) в формулы, пока не дойдем до F(2120):

F(2118) = 2118 · F(2117) + 1

F(2117) = 2117 · F(2116) + 1

...

F(2) = 2 · F(1) + 1 = 3

F(1) = 1

Теперь можем вычислить значение F(2120):

F(2120) = 2120 · (2119 · (2118 · (...(3)...))) + 1

F(2120) = 2120 · 2119 · 2118 · ... · 3 + 1

Теперь можем вычислить значение выражения F(2123) / F(2120):

F(2123) / F(2120) = (2123 · 2122 · 2121 · F(2120) + 2123 · 2122 + 2123 + 1) / F(2120)

F(2123) / F(2120) = 2123 · 2122 · 2121 + 2123 · 2122 / F(2120) + (2123 + 1) / F(2120)

F(2123) / F(2120) = 2123 · 2122 · 2121 + 2123 · 2122 / (2120 · 2119 · 2118 · ... · 3 + 1) + (2123 + 1) / (2120 · 2119 · 2118 · ... · 3 + 1)

Вычисляем числитель:

2123 · 2122 · 2121 = 100,260,506

Вычисляем знаменатель:

2120 · 2119 · 2118 · ... · 3 + 1 = 2120! / 2

Значение 2120! / 2 очень большое, поэтому вычислим его с помощью аппроксимации Стирлинга:

2120! ≈ √(2π2120) · (2120/e)2120

2120! / 2 ≈ √(2π2120) · (2120/e)2120 / 2

2120! / 2 ≈ 1.176 · 1019794

Подставляем значения числителя и знаменателя в выражение для F(2123) / F(2120):

F(2123) / F(2120) ≈ 100,260,506 + 2123 · 2122 / 1.176 · 1019794 + (2123 + 1) / 1.176 · 1019794

F(2123) / F(2120) ≈ 84,985

Ответ: 84 985.