(tg² + 1/tg²)²-(sin⁸+cos⁸)sin⁴cos⁴

^{имеет значение 2} при каком-нибудь значении a.

Для начала, заметим, что:

tg² + 1/tg² = (tg⁴ + 1) / tg²

Теперь заменим sin² и cos² в выражении sin⁸ + cos⁸ на их выражение через tg²:

sin² = 1 / (1 + tg²)

cos² = tg² / (1 + tg²)

Тогда:

sin⁸ + cos⁸ = (1 / (1 + tg²))⁴ + (tg² / (1 + tg²))⁴

= (1 + tg⁴) / (1 + tg²)⁴

Теперь подставим оба выражения в исходное выражение и упростим:

((tg⁴ + 1) / tg²)² - (1 + tg⁴) / (1 + tg²)⁴ * (1 / (1 + tg²))⁴ * (tg² / (1 + tg²))⁴

= (tg⁴ + 1)² / tg⁴ - (1 + tg⁴) / (1 + tg²)⁴ * (1 / (1 + tg²))⁴ * tg⁸ / (1 + tg²)⁴

= (tg⁴ + 1)² / tg⁴ - (1 + tg⁴) / (1 + tg²)⁸

= (1 + 1/tg⁴)² - (1 + 1/tg²) / (1 + tg²)⁸

= (1 + 1/tg⁴)² - (1 + 1/tg²) / (1 + tg²)⁴ * (1 + 1/tg²) / (1 + tg²)⁴

= (1 + 1/tg⁴)² - (1 + 1/tg²)² / (1 + tg²)⁸

= (tg⁴ + 2 + 1/tg⁴ - tg⁴ - 2/tg² - 1/tg⁴) / (tg⁴) * (1 + tg²)⁸

= (2 - 2/tg²) / (tg⁴ * (1 + tg²)⁸)

= 2 / (tg⁴ * (1 + tg²)⁸ / (2 - 2/tg²))

= 2 / ((tg⁴ * (1 + tg²)⁴ / (1 - tg⁴)) / (2 - tg²))

= 2 / (a / (2 - tg²))

где a = tg⁴ * (1 + tg²)⁴ / (1 - tg⁴)

Таким образом, чтобы выражение равнялось 2, нужно, чтобы:

2 / (a / (2 - tg²)) = 2

a / (2 - tg²) = 1

tg² = (a - 2) / a

tg = ±√((a - 2) / a)

Заметим, что a > 2, так как числитель в выражении tg⁴ * (1 + tg²)⁴ / (1 - tg⁴) всегда положителен, а знаменатель всегда больше 1.

Таким образом, мы нашли два значения tg, при которых выражение равняется 2:

tg = ±√((a - 2) / a)

где a = tg⁴ * (1 + tg²)⁴ / (1 - tg⁴)