ulvacheva_anyutka

Для начала, заметим, что: tg 2 + 1/tg 2 = (tg 4 + 1) / tg 2 Теперь заменим sin 2 и cos 2 в выражении sin 8 + cos 8 на их выражение через tg 2 : sin 2 = 1 / (1 + tg 2 ) cos 2 = tg 2 / (1 + tg 2 ) Тогда: sin 8 + cos 8 = (1 / (1 + tg 2 )) 4 + (tg 2 / (1 + tg 2 )) 4 = (1 + tg 4 ) / (1 + tg 2 ) 4 Теперь подставим оба выражения в исходное выражение и упростим: ((tg 4 + 1) / tg 2 ) 2 - (1 + tg 4 ) / (1 + tg 2 ) 4 * (1 / (1 + tg 2 )) 4 * (tg 2 / (1 + tg 2 )) 4 = (tg 4 + 1) 2 / tg 4 - (1 + tg 4 ) / (1 + tg 2 ) 4 * (1 / (1 + tg 2 )) 4 * tg 8 / (1 + tg 2 ) 4 = (tg 4 + 1) 2 / tg 4 - (1 + tg 4 ) / (1 + tg 2 ) 8 = (1 + 1/tg 4 ) 2 - (1 + 1/tg 2 ) / (1 + tg 2 )

Да, такой треугольник существует. Пусть высоты треугольника равны h1, h2 и h3. Тогда площадь треугольника можно выразить как S = (1/2) * a * h1 = (1/2) * b * h2 = (1/2) * c * h3, где a, b и c - стороны треугольника. Так как все высоты меньше 1, то h1 2010, b * h2 = 2S > 2010 и c * h3 = 2S > 2010. Например, можно взять стороны a = 4020, b = 4020 и c = 1, тогда h1 = 2S/a = 2010/4020 1. Такой треугольник существует и его площадь равна 2010, при этом все высоты меньше 1.