В квадрат вписали правильный треугольник так, что одна из его 

вершин совпадает с вершиной квадрата, а две другие лежат на его 

сторонах. Найдите сторону квадрата, если известно, что сторона 

треугольника равна √2. В ответе запишите число, деленное на √3+1.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда сторона треугольника равна $a/\sqrt{2}$ (так как треугольник вписан в квадрат, а сторона квадрата равна диагонали вписанного в него квадрата, а диагональ квадрата делится на две стороны треугольника в соотношении $1:\sqrt{2}$). Из правильного треугольника высота равна $a\sqrt{3}/2$, а также она является медианой и биссектрисой. Так как треугольник правильный, то медиана и биссектриса совпадают, и мы можем использовать формулу для длины биссектрисы в равностороннем треугольнике: $a\sqrt{3}/2 = a/\sqrt{2}$, откуда $a = 2\sqrt{6}/3$. Искомое число равно $2\sqrt{6}/(1+\sqrt{3}) = 2\sqrt{6}(1-\sqrt{3})/(-2) = \sqrt{6}(3-\sqrt{3})$. Ответ: $\sqrt{6}(3-\sqrt{3})$.