В треугольник со сторонами 10, 14 и 16 вписан круг. Точка произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность, что точка попадет в круг.

Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в треугольник:

$$r = \frac{2S}{a+b+c},$$

где $S$ - площадь треугольника, $a$, $b$, $c$ - длины сторон.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $p$ - полупериметр треугольника: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Подставляем значения сторон треугольника:

$$p = \frac{10+14+16}{2} = 20,$$

$$S = \sqrt{20\cdot(20-10)\cdot(20-14)\cdot(20-16)} = 48.$$

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{2\cdot 48}{10+14+16} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}.$$

Таким образом, площадь вписанной окружности равна:

$$S_{\text{окр}} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{64\pi}{25}.$$

Площадь треугольника равна:

$$S_{\text{тр}} = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 14 = 70.$$

Таким образом, вероятность того, что точка, выбранная случайным образом внутри треугольника, окажется внутри вписанной окружности, равна отношению площадей:

$$P = \frac{S_{\text{окр}}}{S_{\text{тр}}} = \frac{\frac{64\pi}{25}}{70} = \frac{16\pi}{175}.$$

Ответ: $\frac{16\pi}{175}$.