CРОЧНО С рисунком желательно 1. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что АВ - биссектриса угла ВАС.

2. Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите радиус окружности, если ОА = 10 см.

3. Из точки А к окружности проведены две касательные. Найдите угол между ними, если расстояние от А до точки касания равно радиусу окружности

1. Решение:
Пусть точка пересечения касательных АВ и АС обозначается буквой М. Также пусть угол ВАМ равен α, а угол МАС равен β. Тогда углы ВОА и СОА являются прямыми, а значит, они равны 90°. Также из свойств касательных следует, что углы ВМО и СМО также равны 90°. Таким образом, получаем, что углы ВАМ и САМ являются смежными и дополнительными, то есть их сумма равна 180°. Из этого следует, что угол ВАС равен α + β. Также из свойств касательных следует, что отрезки АВ и АС равны между собой. Поэтому треугольник АВМ равнобедренный, и угол ВМА равен α. Таким образом, угол ВАМ также равен α. Из этого следует, что угол ВАС равен 2α, а угол ВАМ равен α. Значит, АВ является биссектрисой угла ВАС.

2. Решение:
Пусть радиус окружности обозначается буквой r. Также пусть точки касания касательных с окружностью обозначаются буквами В и С. Тогда из свойств касательных следует, что треугольник ОВА является прямоугольным, а треугольник ОСА является прямоугольным. Также угол ВОС равен 60°, потому что он является центральным углом, соответствующим дуге ВС. Из этого следует, что треугольник ВОС является равносторонним. Таким образом, отрезки ОВ и ОС равны между собой и равны r. Также из прямоугольных треугольников ОВА и ОСА следует, что ОА равно 10 см. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения r:
r² = ОВ² = ОС² = ОА²/2 = 100/2 = 50
Отсюда получаем, что радиус окружности равен √50 см.

3. Решение:
Пусть угол между касательными обозначается буквой α, а радиус окружности обозначается буквой r. Также пусть точки касания касательных с окружностью обозначаются буквами В и С. Тогда из свойств касательных следует, что треугольник ОВА является прямоугольным, а треугольник ОСА является прямоугольным. Также расстояние от точки А до точки касания касательной с окружностью равно r. Из этого следует, что углы ОВА и ОСА являются прямыми, а значит, угол ВОС равен α. Также из свойств касательных следует, что отрезки ОВ и ОС равны между собой и равны r. Таким образом, треугольник ВОС является равнобедренным, и угол ВСО равен (180° - α)/2. Также из свойств касательных следует, что угол ВОС равен 180° - 2α. Таким образом, мы можем записать уравнение:
(180° - 2α)/2 = (180° - α)/2 - α
Решая это уравнение, мы получаем:
α = 60°
Отсюда следует, что угол между касательными равен 60°.