Лучшие помощники
- Megamozg 2180 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1690 б
- arkasha_bortnikov 840 б
- Dwayne_Johnson 840 б
Для решения задачи нам нужно знать, что в кубе все ребра равны друг другу, и углы между любыми двумя ребрами, исходящими из одной вершины, равны 90 градусов.
1. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1
Для нахождения угла между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵1) / (|𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵1|),
где · обозначает скалярное произведение векторов, |𝐴𝐵| и |𝐴1𝐵1| - их длины.
Длина ребра куба равна a, поэтому |𝐴𝐵| = |𝐴1𝐵1| = a√2.
Скалярное произведение векторов 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними:
𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵1 = |𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵1| · cos(𝜃) = a^2 · 2 · cos(𝜃).
Подставляем значения:
cos(𝜃) = (a^2 · 2) / (a^2 · 2) = 1,
откуда 𝜃 = 0 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равен 0 градусов.
2. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵
Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем длины векторов:
|𝐴𝐵| = a√2,
|𝐴1𝐵| = √(a^2 + a^2) = a√2.
Скалярное произведение векторов 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 равно:
𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵 = |𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵| · cos(𝜃).
Подставляем значения:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵) / (|𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵|) = a^2 / (a^2 · 2) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 равен 60 градусов.
3. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶
Ребро 𝐶1𝐶 является диагональю грани, перпендикулярной грани, содержащей ребро 𝐴𝐵. Длина диагонали грани равна √(2a^2), поэтому |𝐶1𝐶| = √(2a^2).
Угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 можно найти так же, как в предыдущем пункте:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐶1𝐶) / (|𝐴𝐵| · |𝐶1𝐶|) = a^2 / (a√2 · √(2a^2)) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 равен 60 градусов.
4. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵
Ребро 𝐶1𝐵 является диагональю грани, перпендикулярной грани, содержащей ребро 𝐴𝐵. Длина диагонали грани равна √(2a^2), поэтому |𝐶1𝐵| = √(2a^2).
Угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 можно найти так же, как в предыдущих пунктах:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐶1𝐵) / (|𝐴𝐵| · |𝐶1𝐵|) = a^2 / (a√2 · √(2a^2)) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 равен 60 градусов.
5. Угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1)
Грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) пересекаются по ребру 𝐵𝐶. Угол между гранями можно найти как угол между нормалями к этим граням, проведенными из общей вершины.
Нормали к грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) можно найти как векторное произведение двух ребер каждой грани:
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = (a, -a, 0),
𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1 = (0, a, -a).
Длины этих векторов равны |𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| = |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1| = a√2.
Скалярное произведение этих векторов равно:
(𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1) = (a, -a, 0) · (0, a, -a) = -a^2,
а длины их произведения:
|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1| = a^2 · 2.
Тогда косинус угла между нормалями равен:
cos(𝜃) = ((𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1)) / (|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1|) = -1/2,
откуда 𝜃 = 120 градусов. Таким образом, угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) равен 120 градусов.
6. Угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵)
Грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) пересекаются по ребру 𝐵𝐶. Угол между гранями можно найти как угол между нормалями к этим граням, проведенными из общей вершины.
Нормали к грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) можно найти как векторное произведение двух ребер каждой грани:
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = (a, -a, 0),
𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵 = (0, -a, -a).
Длины этих векторов равны |𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| = |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵| = a√2.
Скалярное произведение этих векторов равно:
(𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵) = (a, -a, 0) · (0, -a, -a) = a^2,
а длины их произведения:
|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵| = a^2 · 2.
Тогда косинус угла между нормалями равен:
cos(𝜃) = ((𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵)) / (|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵|) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) равен 60 градусов.
1. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1
Для нахождения угла между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵1) / (|𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵1|),
где · обозначает скалярное произведение векторов, |𝐴𝐵| и |𝐴1𝐵1| - их длины.
Длина ребра куба равна a, поэтому |𝐴𝐵| = |𝐴1𝐵1| = a√2.
Скалярное произведение векторов 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними:
𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵1 = |𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵1| · cos(𝜃) = a^2 · 2 · cos(𝜃).
Подставляем значения:
cos(𝜃) = (a^2 · 2) / (a^2 · 2) = 1,
откуда 𝜃 = 0 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равен 0 градусов.
2. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵
Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем длины векторов:
|𝐴𝐵| = a√2,
|𝐴1𝐵| = √(a^2 + a^2) = a√2.
Скалярное произведение векторов 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 равно:
𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵 = |𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵| · cos(𝜃).
Подставляем значения:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵) / (|𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵|) = a^2 / (a^2 · 2) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 равен 60 градусов.
3. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶
Ребро 𝐶1𝐶 является диагональю грани, перпендикулярной грани, содержащей ребро 𝐴𝐵. Длина диагонали грани равна √(2a^2), поэтому |𝐶1𝐶| = √(2a^2).
Угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 можно найти так же, как в предыдущем пункте:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐶1𝐶) / (|𝐴𝐵| · |𝐶1𝐶|) = a^2 / (a√2 · √(2a^2)) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 равен 60 градусов.
4. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵
Ребро 𝐶1𝐵 является диагональю грани, перпендикулярной грани, содержащей ребро 𝐴𝐵. Длина диагонали грани равна √(2a^2), поэтому |𝐶1𝐵| = √(2a^2).
Угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 можно найти так же, как в предыдущих пунктах:
cos(𝜃) = (𝐴𝐵 · 𝐶1𝐵) / (|𝐴𝐵| · |𝐶1𝐵|) = a^2 / (a√2 · √(2a^2)) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 равен 60 градусов.
5. Угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1)
Грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) пересекаются по ребру 𝐵𝐶. Угол между гранями можно найти как угол между нормалями к этим граням, проведенными из общей вершины.
Нормали к грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) можно найти как векторное произведение двух ребер каждой грани:
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = (a, -a, 0),
𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1 = (0, a, -a).
Длины этих векторов равны |𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| = |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1| = a√2.
Скалярное произведение этих векторов равно:
(𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1) = (a, -a, 0) · (0, a, -a) = -a^2,
а длины их произведения:
|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1| = a^2 · 2.
Тогда косинус угла между нормалями равен:
cos(𝜃) = ((𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1)) / (|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐷1|) = -1/2,
откуда 𝜃 = 120 градусов. Таким образом, угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) равен 120 градусов.
6. Угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵)
Грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) пересекаются по ребру 𝐵𝐶. Угол между гранями можно найти как угол между нормалями к этим граням, проведенными из общей вершины.
Нормали к грани (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) можно найти как векторное произведение двух ребер каждой грани:
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = (a, -a, 0),
𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵 = (0, -a, -a).
Длины этих векторов равны |𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| = |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵| = a√2.
Скалярное произведение этих векторов равно:
(𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵) = (a, -a, 0) · (0, -a, -a) = a^2,
а длины их произведения:
|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵| = a^2 · 2.
Тогда косинус угла между нормалями равен:
cos(𝜃) = ((𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵)) / (|𝐴𝐵 × 𝐴𝐶| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵1𝐵|) = 1/2,
откуда 𝜃 = 60 градусов. Таким образом, угол между гранями (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) равен 60 градусов.
0
·
Хороший ответ
21 марта 2023 12:02
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2 см, а острый угол - 45°, найдите площадь трапеции, если известно, что в трапецию можно вписа...
Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма...
Чему равен объем правильной треугольной призмы со стороной основания a и расстоянием от вершины одного основания до противолежащей стороны другого осн...
Сторона равностороннего треугольника равна 12 корней из 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника...
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?...
Все предметы