Лучшие помощники
- Megamozg 2165 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1675 б
- arkasha_bortnikov 725 б
- Dwayne_Johnson 705 б
26 марта 2023 20:32
376
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)). Пределы интегрирования от -1 до 0.
1
ответ
Для исследования сходимости несобственного интеграла необходимо проанализировать поведение функции f(x) на границах интегрирования и в окрестности точек разрыва.
На границе интегрирования x = -1 и x = 0 функция f(x) принимает конечные значения, поэтому интеграл сходится на этом отрезке.
Точкой разрыва функции f(x) является x = 0, так как знаменатель интеграла равен нулю в этой точке. Для исследования сходимости в окрестности точки разрыва проведем замену переменной t = x - sin(x), тогда при x → 0, t → 0 и функция f(x) преобразуется к виду:
f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / (t^(1/3))
При x → 0, t → 0 и функция f(x) аналогична функции g(t) = (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)). Для исследования сходимости несобственного интеграла в окрестности точки разрыва рассмотрим интеграл от функции g(t) на отрезке [-ε, ε]:
∫(от -ε до ε) g(t) dt = ∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Вычислим данный интеграл:
∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt = 2 * ∫(от 0 до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Поскольку интеграл от функции t^(1/3) сходится при t → 0, то данный интеграл сходится при ε → 0. Следовательно, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
Итак, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
На границе интегрирования x = -1 и x = 0 функция f(x) принимает конечные значения, поэтому интеграл сходится на этом отрезке.
Точкой разрыва функции f(x) является x = 0, так как знаменатель интеграла равен нулю в этой точке. Для исследования сходимости в окрестности точки разрыва проведем замену переменной t = x - sin(x), тогда при x → 0, t → 0 и функция f(x) преобразуется к виду:
f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / (t^(1/3))
При x → 0, t → 0 и функция f(x) аналогична функции g(t) = (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)). Для исследования сходимости несобственного интеграла в окрестности точки разрыва рассмотрим интеграл от функции g(t) на отрезке [-ε, ε]:
∫(от -ε до ε) g(t) dt = ∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Вычислим данный интеграл:
∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt = 2 * ∫(от 0 до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Поскольку интеграл от функции t^(1/3) сходится при t → 0, то данный интеграл сходится при ε → 0. Следовательно, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
Итак, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
0
·
Хороший ответ
26 марта 2023 20:33
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Какой-то человек забыл свою сумку. Что с ней делать?...
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Найди tg2x, зная, что tgx=30. ОТВЕТ ДО СОТЫХ ОКРУГЛИТЬ...
Начертите прямую AB и отрезки CD,KM и PE так,чтобы отрезок CD пересекал прямую AB,отрезок KM не пересекал эту прямую,а отрезок PE лежал на прямой AB....
ПОМОГИТЕ Два ребра прямоугольного параллелепипеда,выходящие из одной вершины,равны 4 и 8.Диагональ параллелепипеда равна 9.Найдите третье ребро,выходя...
Раскройте скобки: раскройте скобки: 1)а+(b-c) 2)x-(y+2) 1)1,9(а+2) 3)m-(-n-k) 2)3(а-1,7) 4)9-(a+b+c) 3)-2(х-0,9) 5)x-(-3+y-z) 4)-3(1,6+y) 6)m+8+n+k)...
Все предметы