Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
26 марта 2023 20:32
598
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)). Пределы интегрирования от -1 до 0.
1
ответ
Для исследования сходимости несобственного интеграла необходимо проанализировать поведение функции f(x) на границах интегрирования и в окрестности точек разрыва.
На границе интегрирования x = -1 и x = 0 функция f(x) принимает конечные значения, поэтому интеграл сходится на этом отрезке.
Точкой разрыва функции f(x) является x = 0, так как знаменатель интеграла равен нулю в этой точке. Для исследования сходимости в окрестности точки разрыва проведем замену переменной t = x - sin(x), тогда при x → 0, t → 0 и функция f(x) преобразуется к виду:
f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / (t^(1/3))
При x → 0, t → 0 и функция f(x) аналогична функции g(t) = (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)). Для исследования сходимости несобственного интеграла в окрестности точки разрыва рассмотрим интеграл от функции g(t) на отрезке [-ε, ε]:
∫(от -ε до ε) g(t) dt = ∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Вычислим данный интеграл:
∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt = 2 * ∫(от 0 до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Поскольку интеграл от функции t^(1/3) сходится при t → 0, то данный интеграл сходится при ε → 0. Следовательно, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
Итак, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
На границе интегрирования x = -1 и x = 0 функция f(x) принимает конечные значения, поэтому интеграл сходится на этом отрезке.
Точкой разрыва функции f(x) является x = 0, так как знаменатель интеграла равен нулю в этой точке. Для исследования сходимости в окрестности точки разрыва проведем замену переменной t = x - sin(x), тогда при x → 0, t → 0 и функция f(x) преобразуется к виду:
f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / (t^(1/3))
При x → 0, t → 0 и функция f(x) аналогична функции g(t) = (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)). Для исследования сходимости несобственного интеграла в окрестности точки разрыва рассмотрим интеграл от функции g(t) на отрезке [-ε, ε]:
∫(от -ε до ε) g(t) dt = ∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Вычислим данный интеграл:
∫(от -ε до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt = 2 * ∫(от 0 до ε) (t^(1/3)) / ((1 - exp(x))^(1/5)) dt
Поскольку интеграл от функции t^(1/3) сходится при t → 0, то данный интеграл сходится при ε → 0. Следовательно, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
Итак, несобственный интеграл от функции f(x) на отрезке [-1, 0] сходится.
0
·
Хороший ответ
26 марта 2023 20:33
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Для чего используется 1 хлорпропан koh?...
Установите соответствие между дробями 1-4 и результат их сокращения А-Д. 1.28/35 2. 15/45 3.160/168 4.3*8/16*9 А.1/3 Б.20/21 В.1/6 Г.1/4 Д.4/5...
Какое число получится, если возвести 2 в четвертую степень?...
запишите: 1) число 5 в виде дроби, знаменатель которой равен 8; 2) число 10 в виде дроби, знаменатель которой равен 14 3) число 16 в виде дроби, знаме...
Какую дробь нужно записать по данному заданию?...