veronika_porotikova

Для исследования сходимости несобственного интеграла необходимо проанализировать поведение функции f(x) на границах интегрирования и в окрестности точек разрыва. На границе интегрирования x = -1 и x = 0 функция f(x) принимает конечные значения, поэтому интеграл сходится на этом отрезке. Точкой разрыва функции f(x) является x = 0, так как знаменатель интеграла равен нулю в этой точке. Для исследования сходимости в окрестности точки разрыва проведем замену переменной t = x - sin(x), тогда при x → 0, t → 0 и функция f(x) преобразуется к виду: f(x) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / ((x - sinx)^(1/3)) = ((1 - exp(x))^(1/5)) / (t^(1/3)) При x → 0, t → 0 и функция f(x) аналогична функции g(t) = (t^(1/3)

Решение: 1) Поскольку функция f(x) = dx/(sqrt(sinx + 1)) не является непрерывной на отрезке [3pi/2, 2pi], то интеграл будет несобственным. Проверим его на сходимость: ∫(3pi/2 до 2pi) dx/(sqrt(sinx + 1)) = [замена sinx + 1 = t^2] = ∫(1 до √2) (t^2 - 1)/t^2 dt Вычислим определенный интеграл: ∫(1 до √2) (t^2 - 1)/t^2 dt = ∫(1 до √2) (1 - 1/t^2) dt = [t + 1/t] от 1 до √2 = √2 + 1/√2 - 2 Таким образом, интеграл сходится. 2) Функция f(x) = dx/(sinx^(1/3)) также не является непрерывной на отрезке [pi, 3pi/2], поэтому интеграл будет несобственным. Проверим его на сходимость: ∫(pi до 3pi/2) dx/(sinx^(1/3)) = [замена sinx^(1/3) = t] = 3∫(0 до 1) dt/(1 - t^6) Вычислим определенный интеграл: