Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
27 марта 2023 10:15
328
Известно, что квадратное уравнение 𝑏𝑥2 − (𝑎 − 3𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет 2 совпадающих корня. Докажите, что уравнение
𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0
не имеет корней.
1
ответ
Пусть квадратное уравнение 𝑏𝑥2 − (𝑎 − 3𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет два совпадающих корня. Тогда его дискриминант равен нулю:
(𝑎 − 3𝑏)2 − 4𝑏2 = 0
Раскрываем скобки и переносим все слагаемые на одну сторону:
𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 9𝑏2 − 4𝑏2 = 0
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 5𝑏2 = 0
Теперь заметим, что 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2, поэтому можно переписать уравнение в следующем виде:
(𝑎 − 𝑏)2 + 4𝑏2 − 5𝑏2 = 0
(𝑎 − 𝑏)2 − 𝑏2 + 1 = 0
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑏2 − 1
Теперь рассмотрим уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0. Его дискриминант равен:
(𝑎 − 𝑏)2 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1)
Подставляем выражение для (𝑎 − 𝑏)2:
𝑏2 − 1 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1)
= −4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3
Заметим, что это выражение всегда отрицательно, так как:
−4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3 = −4(𝑎 − 𝑏)𝑏 + 5𝑏2 − 3
= −4𝑏2 + 4𝑎𝑏 − 3
= −(4𝑏2 − 4𝑎𝑏 + 3)
= −(2𝑏 − 𝑎)2 − 1
Таким образом, дискриминант отрицательный, и уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0 не имеет действительных корней.
(𝑎 − 3𝑏)2 − 4𝑏2 = 0
Раскрываем скобки и переносим все слагаемые на одну сторону:
𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 9𝑏2 − 4𝑏2 = 0
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 5𝑏2 = 0
Теперь заметим, что 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2, поэтому можно переписать уравнение в следующем виде:
(𝑎 − 𝑏)2 + 4𝑏2 − 5𝑏2 = 0
(𝑎 − 𝑏)2 − 𝑏2 + 1 = 0
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑏2 − 1
Теперь рассмотрим уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0. Его дискриминант равен:
(𝑎 − 𝑏)2 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1)
Подставляем выражение для (𝑎 − 𝑏)2:
𝑏2 − 1 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1)
= −4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3
Заметим, что это выражение всегда отрицательно, так как:
−4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3 = −4(𝑎 − 𝑏)𝑏 + 5𝑏2 − 3
= −4𝑏2 + 4𝑎𝑏 − 3
= −(4𝑏2 − 4𝑎𝑏 + 3)
= −(2𝑏 − 𝑎)2 − 1
Таким образом, дискриминант отрицательный, и уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0 не имеет действительных корней.
1
·
Хороший ответ
27 марта 2023 10:18
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Какие виды массажа бывают?...
Сколько больших планет в солнечной системе...
1) Сколькими способами можно набрать подряд четыре различные цифры? 2) Сколько анаграмм у слова ОБМОРОК? 3) В буфете 5 чашек и 5 блюдец. Каким коли...
What is the correct way to write "11 15" in the English language?...
Синичка прилетает к кормушке каждые два дня,а белка прибегает к ней только по понедельникам.Сегодня 3 апреля ,и они кушали из кормушки вдвоем .Какого...