Известно, что квадратное уравнение 𝑏𝑥2 − (𝑎 − 3𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет 2 совпадающих корня. Докажите, что уравнение

𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0

не имеет корней.

Пусть квадратное уравнение 𝑏𝑥2 − (𝑎 − 3𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет два совпадающих корня. Тогда его дискриминант равен нулю:

(𝑎 − 3𝑏)2 − 4𝑏2 = 0

Раскрываем скобки и переносим все слагаемые на одну сторону:

𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 9𝑏2 − 4𝑏2 = 0

𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 5𝑏2 = 0

Теперь заметим, что 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2, поэтому можно переписать уравнение в следующем виде:

(𝑎 − 𝑏)2 + 4𝑏2 − 5𝑏2 = 0

(𝑎 − 𝑏)2 − 𝑏2 + 1 = 0

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑏2 − 1

Теперь рассмотрим уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0. Его дискриминант равен:

(𝑎 − 𝑏)2 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1)

Подставляем выражение для (𝑎 − 𝑏)2:

𝑏2 − 1 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1)

= −4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3

Заметим, что это выражение всегда отрицательно, так как:

−4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3 = −4(𝑎 − 𝑏)𝑏 + 5𝑏2 − 3

= −4𝑏2 + 4𝑎𝑏 − 3

= −(4𝑏2 − 4𝑎𝑏 + 3)

= −(2𝑏 − 𝑎)2 − 1

Таким образом, дискриминант отрицательный, и уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0 не имеет действительных корней.