nastushka

Пусть квадратное уравнение 𝑏𝑥2 − (𝑎 − 3𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет два совпадающих корня. Тогда его дискриминант равен нулю: (𝑎 − 3𝑏)2 − 4𝑏2 = 0 Раскрываем скобки и переносим все слагаемые на одну сторону: 𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 9𝑏2 − 4𝑏2 = 0 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 5𝑏2 = 0 Теперь заметим, что 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2, поэтому можно переписать уравнение в следующем виде: (𝑎 − 𝑏)2 + 4𝑏2 − 5𝑏2 = 0 (𝑎 − 𝑏)2 − 𝑏2 + 1 = 0 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑏2 − 1 Теперь рассмотрим уравнение 𝑥2 +(𝑎−𝑏)𝑥+(𝑎𝑏−𝑏2 +1)=0. Его дискриминант равен: (𝑎 − 𝑏)2 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1) Подставляем выражение для (𝑎 − 𝑏)2: 𝑏2 − 1 − 4(𝑎𝑏 − 𝑏2 + 1) = −4𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 3 Заметим, что это выражение всегда отрицательно,

Для того чтобы доказать, что уравнение 𝑎𝑥2 − (𝑎 + 2𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет корни при любых вещественных значениях a и b, нужно показать, что дискриминант этого уравнения всегда неотрицательный. Дискриминант уравнения равен: D = (a + 2b)2 - 4ab D = a2 + 4ab + 4b2 - 4ab D = a2 + 4b2 Так как a2 и 4b2 неотрицательны при любых значениях a и b, то их сумма тоже неотрицательна. Следовательно, дискриминант D всегда неотрицательный, что означает, что уравнение 𝑎𝑥2 − (𝑎 + 2𝑏)𝑥 + 𝑏 = 0 имеет корни при любых вещественных значениях a и b.