Площадь треугольника АВС равна 576 квадратных сантиметров. На стороне АС отмечена точка М так, что АМ:МС=1:2, а на стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН:НС=1:5. Найдите площадь треугольника МНК, если К - середина точки АС.

Из условия задачи следует, что АМ = AC/3 и МС = 2AC/3, ВН = BC/6 и НС = 5BC/6. Так как К - середина стороны АС, то AK = KC = AC/2.

Площадь треугольника АВС можно вычислить по формуле Герона:

p = (AB + BC + AC)/2 = (2AK + KN + 6KC)/2 = 5AC/2

S(ABC) = √(p(p-AB)(p-BC)(p-AC)) = √(5AC/2 * AC/6 * 5BC/6 * 3AC/2) = √(5^3 * AC^3 / 2^4 * 3) = 576

Отсюда получаем, что AC * BC = 768.

Теперь найдем длину стороны НК:

NK = 2/3 * ВН = BC/9

Так как К - середина стороны АС, то МК = AC/6.

Тогда площадь треугольника МНК можно вычислить по формуле:

S(MNK) = 1/2 * NK * MK = 1/2 * BC/9 * AC/6 = AC * BC / 108 = 768 / 108 = 7.11 (см^2)

Ответ: площадь треугольника МНК равна 7.11 квадратных сантиметров.