Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Общее правило: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и произведению внутренней: $f'(g(x) = f'(g)\cdot g'(x)$ . Разберём подробно несколько примеров, на остальные я только дам ответы, т.к. заданий много, решение получится длинное.

Начнём с простого.
№1
$y=e^{-x}\\
f=e^\\
g = -x \\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = e^g\cdot(-1)=-e^{-x}$
Производная kx равна просто k, т.е. -1 в нашем случае, а производная экспоненты равна самой экспоненте.

Теперь возьмём что-нибудь сложное.
№5
$y=16^{\sqrt}+6x+14\\
f=16^g\\
g=\sqrt=x^{\frac}\\
y' = f'(g)\cdot g'(x) + (6x)' + (14)' = (16^g)'\cdot(x^\frac)'+6+0 = \\ = 16^g\cdot \ln \cdot \fracx^{\frac}+6=\frac\cdot16^{\sqrt}\cdot \ln16\cdot \sqrt+6$
Понятно, что проблемы могут тутвозникнуть только с первым слагаемым, остальное дифференцируется очень легко. Нужно помнить, как брать производную от a^x, свойства корней и правило производной сложной функции, конечно же.

Разберём случай двойной вложенности y = f(g(h(x))).
№6
$y=e^{(3x+5)^2}\\
f=e^g\\
g=h^2\\
h=3x+5 \\ y'= f'(g) \cdot g'(h)\cdot h'(x) = (e^g)'\cdot (h^2)'\cdot(3x+5)'=e^g\cdot2h \cdot 3 = \\ =6e^{(3x+5)^2}\cdot(3x+5)$
Здесь мы видим уже три функции, вложенные друг в друга: экспонента, степень и kx. Главное в таких случаях не пугаться и подробно всё расписать;)

Ну и напоследок что-нибудь с логарифмом.
№13
$y=\ln^3x\\
f=g^3 \\
g=\ln x\\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = (g^3)'\cdot\frac = \frac = \frac$

Остальные задания делаются по тому же принципу.
Ответы:
$\displaystyle
2) \frac{\sqrt} \\
3) e^x + \frac} \\
4) e^x -\frac} \\
7) 3a^ \ln \\
8) e^x a^x+e^x a^x \ln a \\
9) \frac \\
10) \frac \\ 11) \frac \\
12) \frac$

Хороший ответ

3 апреля 2023 22:28

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Первый полёт в космос совершил в 1961 г. гражданин Советского Союза Юрий Гагарин.Через 8 лет после этого на Луну ступил первый человек-гражданин США Н... Дети играли в слова.Маша составила 9 слов,а Слава 27 других слов.Во сколько раз больше слов составил Слава,чем Маша?На сколько у Славы больше слов,чем... Раскройте скобки: раскройте скобки: 1)а+(b-c) 2)x-(y+2) 1)1,9(а+2) 3)m-(-n-k) 2)3(а-1,7) 4)9-(a+b+c) 3)-2(х-0,9) 5)x-(-3+y-z) 4)-3(1,6+y) 6)m+8+n+k)... из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста один из них ехал со скоростью12 км/ч а второй 9 км/ч. Какое расстояние будет... 10. На плане участка показан водопровод. Найдите длину проложенной трубы. Ответ дайте в метрах. ...

Производная сложной функции1) y=e^-x 2) y=√e^x 3) y=e^x-e^-x/2 4) y=e^x+e^-x/2 5) y= 16^√x^3+6x+14 6) y=e^(3x+5)^2 7) y=a^3x 8) y=a^x e^x 9) y=lg(2x) 10) y=In 3x 11) log3(4x-2) 12) y=In(x^3) 13) y=(In x)^3

Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3