Лучшие помощники
2 апреля 2023 14:04
380

Дан клетчатый прямоугольник высоты 4 и ширины 22. Вася красит какой-тогоризонтальный прямоугольник 1×3 клетки, а Петя красит какой-то вертикальныйпрямоугольник 3×1 клетки. Найдите вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды. ​

1 ответ
Посмотреть ответы
Пусть, горизонтальный прямоугольник уже размещен. Тогда, искомая вероятность - вероятность того, что вертикальный прямоугольник будет пересекать горизонтальный. Заметим, что пересечение возможно только в одной клетке.
Рассмотрим две ситуации.
1. Горизонтальный прямоугольник лежит в крайней (верхней или нижней) строке. Так как всего строк 4, то это может произойти с вероятностью \dfrac =\dfrac. Найдем общее число возможных расположений вертикального прямоугольника и число расположений, при которых он пересекается с горизонтальным.
Так как высота вертикального прямоугольника 3, а высота исходного прямоугольника 4, то в каждом столбце вертикальный прямоугольник моет располагаться двумя способами. Таким образом, общее число расположений вертикального прямоугольника равно 2\cdot22=44.
Вертикальный прямоугольник будет пересекаться с горизонтальным в 3 случаях: если он будет располагаться в одном из столбцов, через которые проходит горизонтальный прямоугольник и примыкать к соответствующей крайней строке. Значит, число расположений вертикального прямоугольника, при которых он пересекается с горизонтальным, равно 3.
Учитывая вероятность появления этой ситуации, получим, что пересечение в этой ситуации происходит с вероятностью \dfrac \cdot\dfrac.
2. Горизонтальный прямоугольник не лежит в крайней строке. Таких строк тоже 2, значит произойти это может также с вероятностью \dfrac =\dfrac.
Общее число расположений вертикального прямоугольника по-прежнему равно 2\cdot22=44.
Вертикальный прямоугольник будет пересекаться с горизонтальным, если он будет располагаться в одном из столбцов, через которые проходит горизонтальный прямоугольник, причем располагаться в конкретном столбце он может любым из двух возможных способов. Значит, число расположений вертикального прямоугольника, при которых он пересекается с горизонтальным, равно 3\cdot2=6.
Учитывая вероятность появления этой ситуации, получим, что пересечение в этой ситуации происходит с вероятностью \dfrac \cdot\dfrac.
Рассмотренные ситуации не совместны, так как горизонтальный прямоугольник не может располагаться в двух строках одновременно. Значит, соответствующие вероятности необходимо складывать:
P(A)=\dfrac \cdot\dfrac +\dfrac \cdot\dfrac=\dfrac \cdot\dfrac=\dfrac
Ответ: 9/88
image
0
·
Хороший ответ
4 апреля 2023 14:04
Остались вопросы?
Найти нужный