Морфемный разбор деепричастия ЖИВЯ.
Живя в маленьком домике я наблюдал за....

Корень жи. суф. в, я. основа слова - живя.

живя - деепричастие, обозначает добавочное действие к основному действию.
пост признаки: не изменяется, нес вид.
синт роль: обс-во.