Основное свойство первообразной

Основное свойство первообразной.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем некоторое x0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x0, что

F(x)-F(x0) = F'(c)(x-x0).

По условию F’ (с) = 0, так как с∈1, следовательно,

F(x)-F(x0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

F(x) = F(x0),

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x)+C, (1)

где F (х) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С — произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1) какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Ф(x)= F(x)+C.

Доказательство.

1) По условию функция F — первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F'(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому

(F(x) + C)' = F'(x) + C'=f(x)+0=f(x),

т. е. F(x) + C — первообразная для функции f.

2) Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф'(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда

(Ф(x) - F (x))' = Ф'(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(X) — F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(X) — F(x)=С, что и требовалось доказать.Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис.).