1. Найдите двенадцатый член и сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (an), если a1 = 3, a2 = 7.

2. Найдите седьмой член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = − и q = 2.

3. Найдите номер члена арифметической прогрессии (an), равного 6,4, если a1 = 3,6 и d = 0,4.

4. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7, которые больше 100 и меньше 200.

5. С какой процентной ставкой (сложные проценты) необходимо вложить деньги в банк, если через 2 года вкладчик хочет получить 120000 рублей при первоначальном взносе 100000 рублей?

1. Для арифметической прогрессии (an) с известным первым членом a1 и разностью d:
- чтобы найти любой член an, используется формула: an = a1 + (n-1)*d
- чтобы найти сумму первых n членов, используется формула: Sn = (n/2)*(a1 + an)

a1 = 3
a2 = 7.2
d = a2 - a1 = 7.2 - 3 = 4.2

a12 = a1 + 11*d = 3 + 11*4.2 = 48.6
S12 = (12/2)*(a1 + a12) = 6*(3 + 48.6) = 291.6

Ответ: двенадцатый член равен 48.6, сумма первых двенадцати членов равна 291.6.

Для геометрической прогрессии (bn) с известным первым членом b1 и знаменателем q:
- чтобы найти любой член bn, используется формула: bn = b1 * q^(n-1)
- чтобы найти сумму первых n членов, используется формула: Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

b1 = -1
q = 2.3

b7 = b1 * q^(7-1) = -1 * 2.3^6 = -181.5841
S6 = b1 * (1 - q^6) / (1 - q) = -1 * (1 - 2.3^6) / (1 - 2.3) = 152.0431

Ответ: седьмой член равен -181.5841, сумма первых шести членов равна 152.0431.

Для арифметической прогрессии (an) с известным первым членом a1 и разностью d:
- чтобы найти номер члена an, используется формула: n = (an - a1) / d

a1 = 3
d = 0.4
an = 6.4

n = (an - a1) / d = (6.4 - 3) / 0.4 = 16

Ответ: номер члена арифметической прогрессии, равного 6.4, равен 16.

Для нахождения суммы всех натуральных чисел, кратных 7, которые больше 100 и меньше 200, можно использовать формулу для суммы арифметической прогрессии с известным первым членом a1, разностью d и количеством членов n:
- Sn = (n/2)*(a1 + an)

a1 = 105 (ближайшее к 100 кратное 7)
d = 7
n = (200 - a1) / d = (200 - 105) / 7 = 13

Sn = (13/2)*(105 + 189) = 1498

Ответ: сумма всех натуральных чисел, кратных 7, которые больше 100 и меньше 200, равна 1498.

Для расчета процентной ставки (сложные проценты) необходимо использовать формулу для нахождения конечной суммы S через начальную сумму P, процентную ставку r и количество лет t:
- S = P*(1 + r/100)^t

P = 100000
S = 120000
t = 2

120000 = 100000*(1 + r/100)^2
1.2 = (1 + r/100)^2
1 + r/100 = sqrt(1.2)
r/100 = sqrt(1.2) - 1
r = (sqrt(1.2) - 1)*100
r ≈ 9.54

Ответ: необходимо вложить деньги в банк под процентную ставку (сложные проценты) около 9.54% в год.