Почему война Сербии с Турцией вызвала всплеск патриотизма в России?

Потому,что сербы-славяне.
А война с Турцией была поводом укрепить влияние Российской империи на Балканах.

Потому что все славяне – братья. Это наши братские народы, и помогать им святое дело! Именно этим сознанием был вызван такой большой всплеск патриотизма в России. Именно этим можно объяснить неиссякаемый поток добровольцев, ценою собственной жизни готовых отстаивать свободу славян.