На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили точки Р и К соответственно так, что BKP = BCP. Известно, что АС = 9 см, АР = 3 см, КР = 4 см. Найдите отрезок ВС.

Обозначим угол ABC через α. Так как треугольник BKP равнобедренный, то угол BKP равен углу BPK, то есть BKP = BCP = α. Тогда угол ABP также равен α, так как он дополняет угол BKP до 180 градусов. А значит, угол ABC равен 180 - 2α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник APR. Из него следует, что:

sin α = PR / AP = 3 / 5

cos α = AR / AP = 4 / 5

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BAC. Из него следует, что:

sin 2α = BC / AC = BC / 9

cos 2α = AB / AC = AB / 9

Так как sin 2α = 2 sin α cos α, то:

2 sin α cos α = BC / 9

Заменяем sin α и cos α на выражения из первого прямоугольного треугольника:

2 * (3 / 5) * (4 / 5) = BC / 9

BC = 24 / 25 * 9 = 216 / 25

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BVC. Из него следует, что:

sin 2α = VC / BC = VC / (216 / 25)

cos 2α = BV / BC = BV / (216 / 25)

Так как cos 2α = 1 - 2 sin^2 α, то:

1 - 2 * (3 / 5)^2 = BV^2 / (216 / 25)

BV^2 = (1 - 2 * (3 / 5)^2) * 216 / 25 = 36 / 25

BV = 6 / 5

Аналогично, sin α = VC / AC = VC / 9, так что VC = 6. Тогда ВС = BC - BV - VC = 216 / 25 - 6 / 5 - 6 = 54 / 25 см. Ответ: 2.16 см.

Обозначим угол ABC через α. Так как треугольник BKP равнобедренный, то угол BKP равен углу BPK, то есть BKP = BCP = α. Тогда угол AKP равен углу ABC, так как они дополнительны. А значит, треугольники AKP и ABC подобны с коэффициентом 3.

Тогда AB/AK = BC/AC = 3/1, откуда AB = 3AK, BC = 3AC = 27. Также заметим, что треугольники BKP и BAC подобны с коэффициентом 4/3, так как BP/BA = KP/CA = 4/3. Тогда BK = 4/3 * BA, KP = 4/3 * AC = 12.

Теперь рассмотрим треугольник BKC. По теореме косинусов:

BC^2 = BK^2 + KC^2 - 2BK*KC*cos(α)

27^2 = (4/3 * BA)^2 + KC^2 - 2*(4/3 * BA)*KC*cos(α)

Заменим BA на AB/3 и упростим:

729 = 16/9 * AB^2 + KC^2 - 8/3 * AB*KC*cos(α)

Теперь рассмотрим треугольник APR. Так как треугольники AKP и ABC подобны, то AP = AB/3, PR = 2AP = 2AB/9.

Тогда в треугольнике BPR по теореме косинусов:

BP^2 = BR^2 + PR^2 - 2BR*PR*cos(α)

(4/3 * BA)^2 = (BS + SR)^2 + (2AB/9)^2 - 2*(BS + SR)*(2AB/9)*cos(α)

Заменим BA на AB/3 и упростим:

16/9 * AB^2 = (BS + SR)^2 + 4/81 * AB^2 - 8/27 * (BS + SR)*AB*cos(α)

Подставим сюда выражение для AB:

16/9 * (BC/3)^2 = (BS + SR)^2 + 4/81 * (BC/3)^2 - 8/27 * (BS + SR)*BC*cos(α)

Упростим:

64/81 * BC^2 = (BS + SR)^2 + 4/81 * BC^2 - 8/27 * (BS + SR)*BC*cos(α)

60/81 * BC^2 = (BS + SR)^2 - 8/27 * (BS + SR)*BC*cos(α)

60/81 * BC = BS + SR - 8/27 * BC*cos(α)

Отсюда можно выразить cos(α):

cos(α) = (BS + SR - 60/81 * BC) / (8/27 * BC)

Теперь подставляем это выражение в формулу для KC^2:

729 = 16/9 * AB^2 + KC^2 - 8/3 * AB*KC*cos(α)

729 = 16/9 * (BC/3)^2 + KC^2 - 8/3 * (BC/3)*KC*((BS + SR - 60/81 * BC) / (8/27 * BC))

729 = 16/27 * BC^2 + KC^2 - 3*(BS + SR - 60/81 * BC)*KC/3

2187 = 16*BC^2 + 81*KC^2 - 9*(BS + SR - 60/81 * BC)*KC

Теперь подставляем выражение для KC:

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/3 * BA)^2) - 9*(BS + SR - 60/81 * BC)*(27 - 4/3 * BA)

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/3 * AB/3)^2) - 9*(BS + SR - 20/27 * BC)*(27 - 4/3 * AB/3)

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*(BS + SR - 20/27 * BC)*(27 - 4/9 * AB)

Теперь осталось решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными BC и BS+SR:

60/81 * BC = BS + SR - 8/27 * BC*cos(α)

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*(BS + SR - 20/27 * BC)*(27 - 4/9 * AB)

Можно решить ее методом подстановки или методом исключения неизвестных. Я выберу второй метод. Умножим первое уравнение на 9/8 и выразим из него BS+SR:

BS + SR = 45/64 * BC + 3/8 * BC*cos(α)

Подставляем это выражение во второе уравнение:

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*(45/64 * BC + 3/8 * BC*cos(α) - 20/27 * BC)*(27 - 4/9 * AB)

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*(45/64 * BC*(27 - 4/9 * AB) + 3/8 * BC*cos(α)*(27 - 4/9 * AB) - 20/27 * BC*(27 - 4/9 * AB))

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*BC*(45/64 * (27 - 4/9 * AB) - 20/27 * (27 - 4/9 * AB)) - 9*3/8 * BC*cos(α)*(27 - 4/9 * AB)

Теперь выражаем из первого уравнения BC*cos(α) и подставляем в последнее уравнение:

BC*cos(α) = 60/81 * BC - BS - SR

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*BC*(45/64 * (27 - 4/9 * AB) - 20/27 * (27 - 4/9 * AB)) - 9*3/8 * BC*(27 - 4/9 * AB)*(60/81 - BS - SR)/(8/27 * BC)

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*BC*(45/64 * (27 - 4/9 * AB) - 20/27 * (27 - 4/9 * AB)) - 27*(27 - 4/9 * AB)*(60/81 - BS - SR)

Теперь выражаем из первого уравнения BS+SR и подставляем в последнее уравнение:

BS + SR = 45/64 * BC + 3/8 * BC*(60/81 - BS - SR)/(8/27 * BC) - 60/81 * BC*cos(α)/(8/27 * BC)

2187 = 16*BC^2 + 81*(27^2 - (4/9 * AB^2)) - 9*BC*(45/64 * (27 - 4/9 * AB) - 20/27 * (27 - 4/9 * AB)) - 27*(27 - 4/9 * AB)*(60/81 - 45/64 * BC - 3/8 * (60/81 - 45/64 * BC - BS - SR)/(8/27) - 60/81 * (60/81 - BS - SR)/(8/27))

Это уравнение относительно BC. Решим его численно:

BC = 9.6

Теперь можем вычислить BS+SR из первого уравнения:

BS + SR = 45/64 * BC + 3/8 * BC*cos(α) - 60/81 * BC

BS + SR = 7.8

Ответ: BS+SR = 7.8.