В цилиндре параллельно оси проведенаВ цилиндре параллельно оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 120 градусов. Длина оси равна 5, расстояние от неё до секущей плоскости равно 2. Определите площадь сечения,объем и площадь всей поверхности цилиндра

Площадь сечения цилиндра равна площади сегмента окружности, отсеченного секущей плоскостью.

Для нахождения площади сегмента нужно вычислить длину хорды, соединяющей концы отсеченной дуги и расположенной на расстоянии 2 от оси цилиндра. Это можно сделать, используя теорему Пифагора:

$a^2 = r^2 - h^2,$

где $a$ - половина длины хорды, $r$ - радиус основания цилиндра, $h$ - расстояние от хорды до оси цилиндра.

Так как дуга отсечена на 120 градусах, то её длина составляет $\frac{2\pi r}{3}$. Тогда:

$a = r\sin\frac{60^\circ}{2} = \frac{r}{2}\sqrt{3}$

$h = 2$

$r = \frac{5}{2\pi}$

$a = \frac{5\sqrt{3}}{6\pi}$

Теперь можно вычислить площадь сегмента:

$S = r^2\left(\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{25}{4\pi^2}\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 0.76$

Объем цилиндра равен:

$V = \pi r^2 h = \frac{125}{4\pi^2} \approx 3.99$

Площадь поверхности цилиндра складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности. Площадь одного основания равна $\pi r^2$, общая площадь двух оснований - $2\pi r^2$. Боковая поверхность представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра $h$, а длина - длине хорды, отсекаемой секущей плоскостью. Длина хорды равна $2a = \frac{5\sqrt{3}}{3\pi}$, поэтому площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 2ah = \frac{50\sqrt{3}}{9\pi}$

Таким образом, общая площадь поверхности цилиндра равна:

$S = 2\pi r^2 + \frac{50\sqrt{3}}{9\pi} \approx 3.78$