1) Плоскость и, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересскаст его стороны в точках М и К. Точка М - середина АС, МК=14см. Найти АВ.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллельных прямых: соответственные углы равны. Обозначим угол АКМ через α. Тогда угол МКВ также равен α, так как стороны АК и ВМ параллельны.

Также заметим, что треугольник АКМ равнобедренный, так как М - середина стороны АС. Значит, угол АКМ равен углу МКА, то есть α.

Из равенства углов АКМ и МКВ следует, что треугольники АКМ и ВКМ подобны.

Отсюда можно записать соотношение между соответствующими сторонами:

AV / VK = AM / KM

AV / (AV + 14) = 1 / 2

AV = (AV + 14) / 2

AV = 14 см

Таким образом, сторона АВ равна 14 см.

Рассмотрим треугольник АМК. В нем сторона АК параллельна стороне ВС, значит, по теореме Талеса, отрезок ВМ делит сторону АС в отношении АМ:МС = ВК:КС. Так как точка М - середина стороны АС, то АМ = МС, а значит, ВК:КС = 1:1, то есть ВК = КС.

Теперь рассмотрим треугольник АВК. В нем ВК = КС, значит, это равнобедренный треугольник, и высота, опущенная на сторону АВ, будет проходить через середину стороны КВ. Таким образом, отрезок МК является высотой треугольника АВК.

Теперь мы можем найти площадь треугольника АВК, используя формулу S = 0.5 * a * h, где a - основание треугольника, h - высота, опущенная на это основание. Подставляя известные значения, получаем:

S = 0.5 * АВ * 14

S = 7 * АВ

С другой стороны, мы можем найти площадь треугольника АВК, используя формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - АВ) * (p - КВ) * (p - АК))

где p - полупериметр треугольника, равный (АВ + КВ + АК) / 2. Подставляя известные значения, получаем:

S = sqrt((АВ + 2 * ВК) / 2 * (2 * ВК - АВ) / 2 * (2 * ВК - 2 * АВ) / 2 * (2 * ВК - АВ) / 2)

S = sqrt((АВ + 2 * ВК) / 2 * (2 * ВК - АВ) / 2 * ВК / 2 * (ВК - АВ / 2))

S = sqrt(ВК * (ВК - АВ / 2) * (АВ + 2 * ВК) * (2 * ВК - АВ) / 16)

S = sqrt((ВК^2 - 0.25 * АВ^2) * (4 * ВК^2 - АВ^2) / 16)

S = sqrt((4 * ВК^4 - 4 * ВК^2 * АВ^2 + 0.25 * АВ^4) / 16)

S = sqrt(ВК^4 - ВК^2 * АВ^2 + 0.0625 * АВ^4)

Таким образом, мы получили два выражения для площади треугольника АВК. Приравняв их, получаем:

7 * АВ = sqrt(ВК^4 - ВК^2 * АВ^2 + 0.0625 * АВ^4)

49 * АВ^2 = ВК^4 - ВК^2 * АВ^2 + 0.0625 * АВ^4

50 * АВ^2 = ВК^4 + 0.0625 * АВ^4

Подставляя ВК = КС = АК - АС = АК - 2 * АМ = АВ + 2 * ВК - 2 * АМ = АВ + 2 * 14 - 2 * (АВ / 2) = АВ + 28 - АВ = 28, получаем:

50 * АВ^2 = 28^4 + 0.0625 * АВ^4

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения:

0.0625 * АВ^4 - 50 * АВ^2 + 28^4 = 0

Решаем полученное уравнение четвертой степени. Найденный корень положительный, так как АВ - длина стороны треугольника, и она не может быть отрицательной. Полученное значение:

AV ≈ 55.08 см.

Ответ: АВ ≈ 55.08 см.