В жаркий день для охлаждения яблочного сока массой mс = 300 г, находящего при температуре t1 = 30 °С, Женя использовал кубики льда из морозилки. Длина ребра кубика a = 2 см, начальная температура t2 = –10 °С. Теплообменом сока и кубиков с окружающей средой и стаканом можно пренебречь. Удельная теплоёмкость сока сс = 4200 Дж/(кг⋅°С), удельная теплоёмкость льда сл = 2100 Дж/(кг⋅°С), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг.

1) Определите массу одного кубика льда, если плотность льда ρ = 900 кг/м3

2) Женя опускал кубики в сок до тех пор, пока они не перестали таять. Какой стала температура содержимого стакана?

3) Какое минимальное количество кубиков для этого понадобилось?

Напишите полное решение этой задачи.

1) Масса одного кубика льда:
$$
V = a^3 = 2^3 = 8 \text{ см}^3 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3
$$
$$
m = \rho V = 900 \cdot 8 \cdot 10^{-6} = 0.0072 \text{ кг}
$$
2) При контакте сока и льда происходит теплообмен, при котором лед плавится и охлаждает сок до своей температуры плавления. Тепло, отдаваемое соком, равно теплу, необходимому для плавления льда:
$$
Q_1 = m_c c_c (t_1 - t_0) = m \lambda
$$
где $c_c$ - удельная теплоемкость сока, $t_0$ - температура плавления льда. Решая уравнение относительно $t_1$, получаем:
$$
t_1 = \frac{m \lambda}{m_c c_c} + t_0 = \frac{0.0072 \cdot 330 \cdot 10^3}{0.3 \cdot 4200} - 10 = -8.57 \text{ °С}
$$
3) Чтобы охладить сок до температуры плавления льда и плавить кубики льда, необходимо отдать тепло:
$$
Q_2 = m_c c_c (t_1 - t_0) + m \lambda
$$
Количество кубиков льда, необходимых для этого, можно найти, разделив $Q_2$ на тепло, выделяющееся при плавлении одного кубика льда:
$$
n = \frac{Q_2}{\lambda} = \frac{m_c c_c (t_1 - t_0) + m \lambda}{\lambda} = \frac{0.3 \cdot 4200 (-8.57 - 30) + 0.0072 \cdot 330 \cdot 10^3}{330 \cdot 10^3} \approx 7
$$
Таким образом, для охлаждения сока до температуры плавления льда и плавления кубиков льда необходимо 7 кубиков льда.