Вариант 3

1. Даны точки А (3; -2), B (1; -1) и C (-1; 1). Найдите:

1) координаты векторов ВА и ВС;

;

3) координаты вектора МР = 4BА-ВС;

2) модули векторов ВА и ВС

4) скалярное произведение векторов ВА и ВС;

5) косинус угла между векторами ВА и ВС. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

1) CA + AB;

2) BC- BA; 3) BA + BC.

3. Даны векторы m(2;p) и п (9;-3). При каком значении р векторы тип: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. Найдите косинус угла между векторами b =6m-n и c = m + 3 n, если

min ulml-inler

1) Координаты вектора ВА: (1-3; -1+2) = (-2; 1). Координаты вектора ВС: (-1-1; 1-(-1)) = (-2; 2).
2) Модуль вектора ВА: √((-2)^2 + 1^2) = √5. Модуль вектора ВС: √((-2)^2 + 2^2) = 2√2.
3) Координаты вектора МР: 4(-2; 1) - (-2; 2) = (-6; 2).
4) Скалярное произведение векторов ВА и ВС: (-2)*(-2) + 1*2 = 6.
5) Косинус угла между векторами ВА и ВС: (6 / (√5 * 2√2)) ≈ 1.06.

2. На рисунке ниже:


1) Вектор CA + AB: (-1-3; 1-(-2)) = (-4; 3).
2) Вектор BC - BA: (-1-1; 1-(-1)) - (-2; 1) = (0; 1).
3) Вектор BA + BC: (-2; 1) + (-1-(-2); 1-1) = (-1; 1).

3.
1) Векторы коллинеарны, если один является кратным другому. То есть, если существует такое число k, что м(2;p) = kп (9;-3). Решим систему уравнений: 2 = 9k, p = -3k. Отсюда k = 2/9, p = -2/3. Таким образом, векторы коллинеарны при p = -2/3.
2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. То есть, если (2*9) + (p*(-3)) = 0. Решив уравнение, получим p = 6. Таким образом, векторы перпендикулярны при p = 6.

4. Найдем сначала модули векторов b и c: |b| = √((6m-n)^2) = √(36m^2 - 12mn + n^2), |c| = √((m+3n)^2) = √(m^2 + 6mn + 9n^2). Затем найдем скалярное произведение векторов b и c: b*c = (6m-n)(m+3n) = 6m^2 + 18mn - mn - 3n^2 = 6m^2 + 17mn - 3n^2. Наконец, косинус угла между векторами b и c вычисляется по формуле: cos(α) = (b*c) / (|b|*|c|). Подставляем значения и упрощаем: cos(α) = (6m^2 + 17mn - 3n^2) / (√(36m^2 - 12mn + n^2) * √(m^2 + 6mn + 9n^2)).