Вариант 4

1. Даны точки А (1; 5), B(-3; 2) и C (2; 3). Найдите:

1) координаты векторов СА и СВ; 2) модули векторов СА и СВЕ

3) координаты вектора DM = 3CA-4CB;

4) скалярное произведение векторов СА и СВ; 5) косинус угла между векторами СА и СВ.

2. Начертите треугольник DEF. Постройте вектор:

1) DE + EF; 2) ED-EF; 3) FE + FD.

3. Даны векторы а (х;10) и b (-5;4). При каком значении х векторы а и b: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. Найдите косинус угла между векторами m = 3а-b и n = a + 4Ь, если

alb и |а|=|b|=1

⚠️Решите пожалуйста ⚠️

1)

а) Вектор CA: CA = (2-1; 3-5) = (1; -2)

б) Вектор CB: CB = (-3-2; 2-3) = (-5; -1)

в) Модуль вектора CA: |CA| = √(1²+(-2)²) = √5

г) Модуль вектора CB: |CB| = √((-5)²+(-1)²) = √26

д) Вектор DM: DM = 3CA - 4CB = 3(1; -2) - 4(-5; -1) = (3; -6) - (-20; -4) = (23; -2)

е) Скалярное произведение векторов CA и CB: CA·CB = 1(-5) + (-2)(-1) = 3

ж) Косинус угла между векторами CA и CB: cosα = (CA·CB) / (|CA|·|CB|) = 3 / (√5·√26) ≈ 0.275

2)

а) Вектор DE + EF: DE + EF = (1-(-3); 5-2) + (2-1; 3-5) = (4; 3)

б) Вектор ED - EF: ED - EF = (-1-2; 10-3) - (2-1; 3-5) = (-3; 7) - (1; -2) = (-4; 9)

в) Вектор FE + FD: FE + FD = (2-2; 3-3) + (-1-1; 5-3) = (-2; 2)

3)

а) Для коллинеарности векторов а и b необходимо, чтобы они были параллельны или противоположно направлены. Это происходит, когда их координаты пропорциональны: x / (-5) = 10 / 4. Решив это уравнение, получаем x = -25/2.

б) Для перпендикулярности векторов а и b необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю: а·b = x(-5) + 10(4) = 0. Решив это уравнение, получаем x = 20/5 = 4.

4)

а) Модули векторов m и n: |m| = √(3²+(-1)²) = √10, |n| = √(1²+4²) = √17.

б) Скалярное произведение векторов m и n: m·n = (3(-5)+(-1)4) + (10(1)+(-6)4) = -15 + (-14) = -29.

в) Косинус угла между векторами m и n: cosα = (m·n) / (|m|·|n|) = -29 / (√10·√17) ≈ -0.912.