Помогите пожалуйста с решением .

Найдите косинус угла между векторами m = 3а – b и n = a + 4b, если а ⊥ b и |a| = |b| = 1.

ОТВЕТ: cos ∠(m, n) = 3/4.

Для начала найдем скалярное произведение векторов m и n:

m * n = (3a - b) * (a + 4b) = 3a*a + 12ab - b*a - 4b*b = 3|a|^2 + 8|b|^2 + 10ab

Так как a и b перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть ab = 0. Также из условия |a| = |b| = 1 следует, что |a|^2 = |b|^2 = 1.

Подставим это в формулу для скалярного произведения:

m * n = 3|a|^2 + 8|b|^2 + 10ab = 3 + 8 + 0 = 11

Теперь найдем длины векторов m и n:

|m| = sqrt((3a - b)*(3a - b)) = sqrt(9|a|^2 + |b|^2) = sqrt(10)
|n| = sqrt((a + 4b)*(a + 4b)) = sqrt(|a|^2 + 16|b|^2) = sqrt(17)

Так как cos(угла между векторами) = (m * n) / (|m| * |n|), то

cos(∠(m, n)) = (m * n) / (|m| * |n|) = 11 / (sqrt(10) * sqrt(17)) = 3/4

Ответ: cos(∠(m, n)) = 3/4.